Espaces vectoriels et matrices

Thèmes abordés

Mathématiques, espaces vectoriels, matrices, exercices

Résumé du document

Ce document comprend un exercice de mathématiques sur les espaces vectoriels et les matrices.

Extraits

[...] Espaces vectoriels et matrices Exercice 1 On a A-I3=12-3-3633-633-6. On constate que C1-C2=0 et C1+C2+C3=0 où Ci désigne la colonne i. On en déduit que E1=Vectv1,v2 avec v1=1-10 et v2=111 formant une base de E1 dans B. E1est le sous-espace propre de φ associé à la valeur propre 1. On a A+2I3=123-3639-6330. On constate que C1-C2-C3=0. On en déduit que E2=Vectv3 avec v3=1-1-1 formant une base de E2 dans B. E2est le sous-espace propre de φ associé à la valeur propre -2. [...]

[...] P est formée des vecteurs propres de φ donc P=111-11-101-1. est une matrice diagonale donc on a simplement ∀n∈N, A'n=10001000-2n. On a la relation A'=P-1AP. On montre par récurrence que ∀n∈N,A'n=P-1AnP. Pour n=0 on a P-1A0P=P-1I3P=P-1P=I3=A'0 donc l'initialisation est vraie. Pour on suppose que la proposition est vraie au rang n. Au rang n+1 on a A'n+1=A'nA'=P-1AnPP-1AP=P-1AnI3AP=P-1AnAP=P-1An+1P donc l'hérédité est prouvée. On multiplie l'expression précédente à gauche par P et à droite par P-1 : PA'nP-1=PP-1AnPP-1=I3AnI3=An On reconnaît la matrice A dans le système Σ. [...]