Espaces vectoriels - Isométries affines

Thèmes abordés

Espace vectoriel, isométrie affine, espace euclidien, endomorphisme, axe de rotation

Résumé du document

Ce devoir de niveau licence est composé de 3 exercices corrigés sur le thème des espaces vectoriels euclidiens et des isométries affines.

Extraits

[...] Dans cette base, v1 a comme coordonnées(1,0,0). Considérons la rotation de matrice B suivante : B=cosθ-sinθ0sinθcosθ0001 Alors Bv1=v2 Il existe donc bien une rotation appliquant v1 sur v2. Si g=Id, on a bien g.g'=g'.g Si alors la rotation g a un axe de rotation engendré par un vecteur que nous appellerons u. Soit une rotation ayant un axe de rotation que ne soit pas engendré par u (et donc a le même axe de rotation). On a vu à la première question qu'alors, g'-1ogog' est une rotation d'axe Or, comme l'axe de rotation de n'est pas engendré par n'est pas colinéaire à u et on ne peut pas avoir g'-1ogog'=g. [...]

[...] Premier cas : supposons que v1 et v2 soit liés. Alors on a soit v1=v2, soit v1=-v2. Si v1=v2 alors v1=Id(v2) et l'application Id est bien une rotation. Si v1=-v2 alors en prenant une base orthonormée dont le premier vecteur est v1, la rotation de matrice A dans cette base est une rotation qui transforme v1 en v2. A=-1000-10001 Second cas : supposons que v1 et v2 soit libres. Alors (v1,v2) forme une base de l'espace-vectoriel de dimension 2 engendrés par les vecteurs v1 et v2. [...]

[...] Appelons u1, u2 et u3 les vecteurs colonnes de la matrice A. u1=342+142+-642 u1=916+116+616=1 u2=142+342+642 u2=116+916+616=1 u3=642+-642+122 u3=616+616+416=1 u1,u2=34x14+14x34-64x64 u1,u2=316+316-616=0 u1,u3=34x64-14x64-64x12 u1,u3=3616-616-68=0 u2,u3=14x64-34x64+64x12 u2,u3=616-3616+68=0 Ainsi, f est bien orthogonal. Pour voir si f est direct ou indirect, nous allons calculer le déterminant de la matrice A : 3414641434-64-646412=11464134-6406412 Nous avons effectué l'opération élémentaire : C1<--C1+C2 En développant par rapport à la première colonne, on obtient : detA=1x34x12+64x64-1x14x12-64x64 detA=38+616-18+616=28+1216=1 f est donc direct. f est une isométrie directe dans un espace de dimension c'est donc une rotation. [...]

[...] L'égalité cherchée est alors vraie pour tout h de O3. Si aucune des rotations n'est l'identité, alors appelons u un vecteur unitaire qui engendre l'axe de rotation de f et v un vecteur unitaire qui engendre l'axe de rotation de g. D'après la question on sait alors qu'il existe une rotation h telle que hu=v. Alors d'après la question h-1ogoh est une rotation d'axe de rotation dirigé par h-1v=u. De plus le cosinus de son angle est le même que le cosinus de l'angle de la rotation g. [...]

[...] Exercice 3 On sait que est un groupe. Or f et g appartiennent à donc g-1ofog également. De plus : Detg-1ofog=det(g-1of)og=det?(go(g-1of)) D'où : Detg-1ofog=detgog-1of=detf=1 puisque f∈SO(3) Ainsi g-1ofog appartient à SO(3). Considérons que l'axe de la rotation f est engendré par le vecteur que l'on appellera y. Cherchons l'axe de la rotation g-1ofog. x est un vecteur invariant par la rotation g-1ofog équivaut à : g-1ofogx=x soit gog-1ofogx=g(x) ou encore fgx=gx. Cette dernière égalité équivaut à dire que le vecteur doit faire partie des invariants de f et donc il existe un scalaire k tel que gx=ky soit : x=g-1ky=kg-1y. [...]