Équations - Outils numériques

Thèmes abordés

Licence 3 Mathématiques, outils numériques, géométrie, système linéaire, équation cartésienne, matrice A, vecteur propre, Jacobien, développement de Taylor, équationn paramétrique, examen blanc

Résumé du document

Si on se place dans le plan (x,y) on observe une droite, et dans un espace en 3 dimensions, l'équation cartésienne x=y correspond à un plan dont la construction ne se fait pas par translation de cette droite selon z.

Extraits

[...] Son équation cartésienne est ce même système. On souhaite résoudre ce système 3x-2y-z=0-5x+3y+4z=0 que l'on peut aussi écrire 3x-2y=z-5x+3y=-4z si on fixe z on peut réaliser ce qui nous permet de déduire la relation 9x-6y-10x+6y=-5z soit et x=5z ensuite d'après on trouve 15z-2y=z soit y=7z. Les solutions sont donc les points de la forme 5z,7z,z avec z réel. La solution de norme euclidienne minimale est On souhaite résoudre ce système 3x-2y-z=3-5x+3y+4z=0 que l'on peut aussi écrire 3x-2y=z+3-5x+3y=-4z si on fixe z on peut réaliser ce qui nous permet de déduire la relation 9x-6y-10x+6y=-5z+9 soit x=5z-9 ensuite d'après on trouve 15z-27-2y=z+3 soit y=7z-15. [...]

[...] Posons le vecteur inconnu xyz. On a 460-3-50-3-6-5xyz=4x+6y-3x-5y-3x-6y-5z, ainsi pour trouver les vecteurs propres les trois systèmes à résoudre sont : 4x+6y=-5x-3x-5y=-5y-3x-6y-5z=-5z 4x+6y=-2x-3x-5y=-2y-3x-6y-5z=-2z 4x+6y=x-3x-5y=y-3x-6y-5z=z Donc : 9x+6y=0-3x=0-3x-6y=0 6x+6y=0-3x-3y=0-3x-6y-3z=0 3x+6y=0-3x-6y=0-3x-6y-6z=0 Pour le premier système on a x=y=0 donc on peut prendre le vecteur unitaire 001. Pour le second, les deux premières équations sont les mêmes et donnent et en faisant on trouve que l'on doit satisfaire 3y+3z=0 soit y=-z. Prenons alors le vecteur 1-11 qui une fois normé donne 1/3-1/31/3. Pour le dernier système on a encore deux même équations qui fournissent x=-2y et en faisant il vient -6z=0 soit z=0. [...]

[...] Ainsi, on obtient l'équation cartésienne x-y-z=0. Pour analyser ce plan, il est plus facile de l'écrire sous la forme x=y+z. Ce plan coupe le plan sur la même droite que le plan rouge précédent (car pour z=0 on retrouve un raisonnement similaire en y=0 montre que ce plan coupe le plan selon la droite d'équation x=z. Effectuons pour le deuxième système l'opération suivante 3x+2y-2z, on trouve alors que cela vaut -6+6t-2+6t-12t=-8 ainsi on a 3x+2y-2z+8=0. On a encore un plan mais cette fois ci il n'est pas aisé de l'étudier si ce n'est en analysant ses projections dans les trois plans. [...]

[...] On a donc l'équation cartésienne 6x-3y+6z+6=0. D'après ce qui précède, on sait que n=6-36 est un vecteur normal au plan. Ainsi, pour tout autre point M de ce plan on aura n.DM=n.DD' avec le projeté de D sur le plan. Le développement de cette égalité permet d'aboutir à la formule usuelle : DA,plan=DD'=6xD-3yD+6zD+662+32+6² On trouve finalement DD'=3. Ex.4 : Calculons le polynôme caractéristique de M soit (développement sur la dernière colonne) : detM-λI=4-λ60-3-5-λ0-3-6-5-λ=-5-λ4-λ-5-λ+18 Intéressons-nous à 4-λ-5-λ+18=λ2+λ-2, il est immédiat que 1 et sont racines de ce polynôme. [...]

[...] Dans ce cas, la fonction f permet de construire le plan d'équation cartésienne x-y-z=0 dont un vecteur normal en tout point est le vecteur 1-1-1. Le Hessien (ou matrice Hesienne) est défini comme d²fdx²⋯d²fdxdxn⋮⋱⋮d²fdxdxn⋯d²fdxn² soit ici : Hf=0000 Ex.6 : On sait que y et z vérifient le système donc on peut poser z=0 et y=x+1. Ainsi il vient que x2+y2+z²=x2+(x+1)2 or minimiser la racine revient à minimiser son contenu soit x2+(x+1)2=2x2+2x+1 le somment de cette courbe est atteint en x=-b2a (avec en fait la fonction qui vaut ax2+bc+c) soit en et comme on sait que la parabole est décroissante puis croissante. [...]