Équations, inéquations et systèmes d'inéquations - Exercice corrigé

Thèmes abordés

équations, inéquations, systèmes d'inéquations

Résumé du document

Ce document est un exercice corrigé en mathématiques. Il s'agit de résoudre des équations, des inéquations et des systèmes d'inéquations.

Extraits

[...] L'équation existe ssi x+2>02x-1>04-x>0 ssi x>-2x>12x [...]

[...] Ainsi : D = 12;4 Rappel : lna+lnb=lnaxb lna=lnb Si, et seulement si ssi a = b Ces deux relations permettent de résoudre l'équation ⇒lnx+2=ln2x-1+ln4-x ⇒lnx+2=ln2x-14-x ⇒x+2=2x-14-x ⇒x+2=8x-2x2-4+x ⇒2x2-8x+6=0 ⇔x2-4x+3=0 ∆=b2-4ac=-42-413=16-12=4⇒∆ x1=-b-∆2a=4-22x1=22=1⇒x1=1 ∈ 12;4 x2=-b+∆2a=4+22x1=62=3⇒x2=3∈12;4 D'où S=1;3 2°) lnx2-7lnx+6=0 L'équation existe ssi x>0 ssi x∈0 ;+infinity donc D ;+infinity Rappel : lna=b⇒a=eb Effectuons un changement de variable Soit X = lnx donc X1=lnx1 ; X2=lnx2 ⇒X2-7X+6=0 ∆=b2-4ac=-72-416=49-24=25⇒∆ =25=5 X1=-b-∆2a=7-52x1=22=1⇒X1=1 X2=-b+∆2a=7+52x1=122=6⇒X2=6 lnx1=X1⇒ lnx1=1⇒ x1=e1=e ∈0 ;+infinity lnx2=X2⇒ lnx2=6⇒ x1=e6 ∈0 ;+infinity D'où S=e;e6 3°) 1lnx-5+4lnx>=0 1lnx-5+4lnx>=0⇔4lnx2-5lnx+1lnx>=0 L'inéquation existe ssi x>0lnx ssi x∈0;+infinityx ssi D ;1∪1;+infinity Résolvons d'abord l'équation : 4lnx2-5lnx+1=0 Soit X = lnx donc X1=lnx1 ; X2=lnx2 4X2-5X+1=0 ∆=b2-4ac=-52-441=25-16=9⇒∆ X1=-b-∆2a=5-32x4=28=14⇒X1=14 X2=-b+∆2a=5+32x4=88=1⇒X2=1 lnx1=X1⇒ lnx1=14⇒ x1=e14 ∈0 ;1∪1;+infinity lnx2=X2⇒ lnx2=1⇒ x1=e ∈0 ;1∪1;+infinity Donc S=e;e14 est la solution de l'équation 4lnx2-5lnx+1=0 Tableau de signe La partie hachurée du tableau ne fait pas partie de l'intervalle de validé D La solution obtenue est la dernière ligne positive du tableau suivant les colonnes d'intersection. [...]

[...] Équations, inéquations et systèmes d'inéquations - Exercice corrigé Énoncé Résoudre les équations, les inéquations et les systèmes d'inéquations suivants : A°) 1°) lnx+2=ln2x-1+ln4-x 2°) lnx2-7lnx+6=0 3°) 1lnx-5+4lnx>=0 4°) x+y=65lnx+lny=ln1000 B°) 1°) ex2=e12x 2°) 3ex+4-7e-x=0 3°) e2x+ex-3 4°) ex+ln2+ey+ln3=16ex+ln3+ey+ln2=17 Corrigé A 1°) lnx+2=ln2x-1+ln4-x Déterminons d'abord le domaine de validité D. [...]