Équations, inéquations et factorisations

Thèmes abordés

équations, inéquations, factorisation, fonctions, coefficient, identités remarquables, variable muette

Résumé du document

Ce document est un ensemble d'exercices corrigés de niveau 1ère S sur le thème des équations.

Extraits

[...] Dans l'équation x+4 = la variable x est donc dite « variable muette ». On peut la remplacer par n'importe quelle autre variable. Donc x+4 = 2 et a+4 = 2 sont la même équation. Résoudre une équation, c'est trouver les valeurs que prendre la variable pour que l'égalité soit vraie. Cela implique que la variable ne doit pas apparaitre dans l'ensemble des solutions. 23x ne peut pas être solution de l'équation. Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul est un facteur non nul. [...]

[...] On peut résoudre cette inéquation de deux manières : Le coefficient devant x2 est 2 qui est strictement positifs. On sait donc que le polynôme va être négatif entre ses racines et positif a l'extérieur. va donc être positive ou nuls sur l'intervalle : -infinity;1]3;+infinity[ Cela peut également se vérifier avec un tableau de signe : fx+2=2x2 - 8x +6+2=2x2 - 8x +8On factorise par le coefficient devant x2=2xx2-2x4x +2x4=2x2-4x+4 Concentrons-nous sur la parenthèse : x2-4x Elle contient un terme en x et une constante. [...]

[...] On devrait avoir 2·a=9 a=9/2 On vérifie : a2=922= 9222=814 On a donc bien x2-9x+814=x-922fx-144=-4x-922 Un carré est toujours positif ou nul, donc : x-922>=0-4x-922≤0On multiplie par un nombre negatif fx-144≤0f(x)≤144 Exercice 3 : On va chercher à factoriser directement. L'expression de est de la forme x2+bx+c ou b est positif. Si on peut la factoriser par une identité remarquable, ce serait donc l'identité de la forme : x+a2=x2+2·a·x +a2 On devrait donc avoir 2a=4 a=2 a2=4 De même on devrait avoir a2=3 Or a2 ne peut pas prendre deux valeurs différentes. [...]

[...] On ne peut donc pas factoriser directement. Par identités remarquables : x+a2=x2+2·a·x +a2 Donc : x+a2-a2 =x2+2·a·x x2+4x =x2+2x2xx=(x+2)2-22d'après la formule de la question précédente pour On utilise l'identité remarquable : a-ba+b=a2-b2 Dans notre cas : a=x+2b=1 D'où : Un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. fx=0x+1x+3 x+1=0oux+3 x =-1ou x L'équation admet deux solutions : et -1. Exercice 4 Répondre aux questions suivantes : Dans l'équation x+4 = la variable x est dite « variable muette », la modifier ne modifie l'information portée par l'équation. [...]

[...] 2x-4x+3 x-4x+3 x-4=0oux+3 x =4ou x L'équation admet deux solutions : et 4. La première partie de la résolution de Noelle est correcte. Elle utilise correcte la séparation d'un produit de facteurs, en considérant le fait qu'un produit est nul si l'un de ses facteurs est nul. En revanche sa vérification est incorrecte. La variable x ne peut prendre qu'une valeur a la fois. En écrivant 3-35-5 on voit qu'elle a remplace x par 3 dans la première parenthèse, et x par 5 dans la seconde. [...]