Equations différentielles, suites et probabilités

Thèmes abordés

Mathématiques, équations, équations différentielles, calcul, suites numériques, probabilités, circuit électrique

Résumé du document

Ce document contient trois exercices résolus sur les équations différentielles, les suites numériques et les probabilités.

Extraits

[...] On cherche P15-h≤X≤15+h=1-PX≤15-h-P(X>=15+h) or comme la moyenne est 15 on a PX≤15-h=P(X>=15+h) donc on cherche P15-h≤X≤15+h=1-2PX≤15-h=1-2PY≤15-h-mσ=0,95 puis cela revient à trouver PY≤15-h-mσ=0,025 avec les tables on trouve cela pour 15-h-mσ=-1,96 soit h=0,686 cela signifie que pour une machine réglée sur une valeur moyenne de 15 mm, à on 95% de chance d'avoir des pièces comprises entre 14,314 et 15,686 mm. On a M100=X100 on suppose que chaque pièce est indépendante donc EM100=EX100=EX100=100m100=m. De plus VM100=VX100=VX100²=VX100 donc σM100=σX10. Finalement M100 sui une loi binomiale de paramètre m=15 et σ=0,035. On a vu précédemment que cela revient à trouver 1-2PY≤15-0,1-mσ≈1-2x0,0021≈0,9958. [...]

[...] Equations différentielles, suites et probabilités Equations différentielles - calcul intégral Partie 1. D'après le cours il vient que la solution homogène est yHt=ke-tRC. Si on prend la fonction constante g=EC on a bien 0+1RCEC=ER. Ainsi, on a une solution particulière yPt=EC. On en déduit l'ensemble des solutions de qui est yt=ke-tRC+EC avec k∈R. A t=0 on ferme l'interrupteur, il n'y a donc pas de charge dans le condensateur et on en déduit que q0=0 C. Comme q vérifie on sait que qt=ke-tRC+EC or q0=0 donc il vient k+EC=0. [...]

[...] On a i2t=10-4e-20t on une primitive est -10-420e-20t. On en déduit W=100x-10-420e-20t0t0=100x-10-420e-20t0-1≈4,95.10-4J. Avec une calculatrice en rentrant 1000ln0,1/(-10)10-4e-20tdt on trouve la même valeur. Suites numériques On a d'après l'énoncé P1=P0x1-0,292=0,708 P0. Après 2 tronçons on aura alors P2=0,708P1=0,7082P0≈0,501P0. De même on aura cette fois P5=0,7085P0≈0,178P0 soit environ 17,8%. La suite est géométrique de raison q=0,708 et de premier terme P0 car à chaque itération de n on trouve Pn par multiplication du terme précédent par une constante. On a alors Pn=0,708nP0. [...]

[...] Ainsi, comme Y compte le nombre de succès on a bien une loi binomiale B(n=50;p=0,2). On a PY≤4=PY=0+PY=1+PY=2+PY=3+P(Y=4) et par ailleurs PY=k=nkpk1-pn-k on trouve PY≤4≈0,01849≈1,8%. Les paramètres de la loi normale approchée sont np=10 et np1-p=8 (variance) ou np1-p=8 (écart type). On trouve cette fois PY≤4≈0,0167 (avec tables ou calculatrice) ce qui est plutôt proche (le résultat étant dégradé si on essaie de considérer 4,5 ce qui est tentant car la nouvelle distribution est continue et non plus discrète). Partie 2. [...]