Les équations différentielles - Exercices corrigés

Thèmes abordés

Licence de mathématiques, équations différentielles, résolution d'équations

Résumé du document

Ce document contient cinq exercices corrigés nécessitant la pose et la résolution d'équations différentielles à plusieurs inconnues.

Extraits

[...] Comme pour la première semaine on avait une connaissance de 95% et qu'au bout de cette semaine on est arrivé à en notant f la connaissante à un instant t on en déduit que est le taux auquel un élève oublie et d'après l'énoncé : soit encore ce que l'on peut noter f'-kf=-k0,5. La solution homogène de cette équation différentielle est f0=Cekt et une solution particulière est fp=0,5 donc f=Cekt+0,5. Or à t=0 on sait que Sarah connait 95% de son cours soit C+0,5=0,95 puis C=0,45. Si on décide de prendre t en semaine, on a aussi 0,45ek+0,5=0,8 soit k=ln0,8-0,50,45≈-0,41. Ainsi : f=0,45e-0,41t+0,5 et en particulier pour t=3 f3≈63,3%. On cherche pour quel t ft=60%. Soit 0,45e-0,41t+0,5=0,6, donc on en déduit : e-0,41t= puis t=ln0,10,45-0,41≈3,71 semaines, soit 26 jours. [...]

[...] Les équations différentielles - Exercices corrigés Exercice n°1 - Calculons 5-4xx2-3x+2dx. - On peut écrire que 5-4x=-[22x-3+1] donc : 5-4xx2-3x+2dx=-22x-3x2-3x+2dx-1x2-3x+2dx=-2I1-I2 - Posons pour I1 u=x2-3x+2 alors du=2x-3dx et I1=1udu=2u=2x2-3x+2. - D'autre part x2-3x+2=x-322-14=14[2x-32-1]. Posons pour I2 u=2x-3, alors du=2dx et I2=1212u2-1du=1u2-1du=ln⁡(u2-1+u) ainsi I2=ln⁡((2x-3 )2-1+2x-3 - Finalement on trouve que : 5-4xx2-3x+2dx=-4x2-3x+2-ln2x-3 2-1+2x-3 +C. Exercice n°2 - On effectue en effet la décomposition : 3x+5(x-1)²(x+1)dx=12x+1-12x-1+4x-12dx=12I1-12I2+4I3 - Pour I1 on pose u=1+x et donc du=dx ainsi I1=1udu=lnu=ln⁡(x+1). - Pour I2 on pose u=x-1 et donc du=dx ainsi I1=1udu=lnu=ln⁡(x-1). [...]