équation, équation différentielle, intégrale, taux de proportionnalité, sens de variation
Le document est composé de deux exercices corrigés sur la résolution d'équations différentielles.
[...] Équations différentielles Exercice 1 Pour , on a (ln étant une fonction croissante). On a ainsi et . De plus comme . Finalement, pour , on a : On intègre donc une fonction continue et positive entre la borne et la borne qui lui est supérieure. Ainsi, est un nombre positif. Posons On a alors, avec les notations usuelles : . De plus, pour les bornes, et . On obtient : On a : Pour la première intégrale, on pose et donc Exercice 2 L'égalité est équivalente à l'égalité On a alors : L'équation différentielle donne alors : En multipliant par (qui est toujours différent de 0 par définition) les deux membres de l'égalité, on obtient : . [...]
[...] Soit : L'équation différentielle homogène associée à a comme solutions : où est une constante réelle. Une solution particulière et évidente de est Finalement, les solutions de sont de la forme : On a . On obtient donc : Remarque : il faut choisir K tel que On a : On a : , D'où : pour tout est donc strictement croissante. Comme , on a : . De plus , donc . On obtient finalement : Allure de la courbe : Pour . [...]
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