Devoir de mathématiques : étude d’une suite récurrente

Résumé du document

On se propose d'étudier la suite définie par : U(0)=0
Quel que soit n Î IN, U(n+1) = - 1/3 U(n) +2.

1) A l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée à 10-4 Près de U(8)
2) Dans un repère ortho normal (o,i,j), construire la courbe de la fonction f(x)= -1/3 x +2, la droite D:y=x, puis les 5 premiers termes de la suite U(n)
Que pouvez-vous conjecturer concernant le sens de variation de U(n) et sa convergence éventuelle ?

Extraits

[...] On conjecture que n'est ni croissante, ni décroissante et que Lim = 3/2 Démontrez votre conjecture concernant le sens de variation de et Donc On considère la suite définie par : Quelque soit n = - 3/2 Montrer que est géométrique. = = + = Donc est géométrique de raison Pour tout n dans IN, exprimer en fonction de puis en fonction de n. Or Donc quelque soit n Et quelque soit n = Etudier la convergence de U(n). On cherche le point d'intersection des deux courbes. [...]

[...] y=x ( y=x ( y=x ( y=x x x+2 4/3x=2 x=3/2 converge vers 3/2. Déterminer, en utilisant la calculatrice, le plus petit entier naturel n tel que : - 10-5 Quelque soit n - = A la calculatrice, on trouve que dès que n = 11, - 10-5 Pour tout n dans IN, on pose : n n = ? S'(n)=? k=0 k=0 Exprimez S'(n) en fonction de n. = * n+1 = = = = Etudier la convergence des suites et S'(n). [...]