Devoir maison de mathématiques : les vecteurs

Thèmes abordés

Mathématiques, exercices, dérivées, vecteurs, matrices

Résumé du document

Ce document contient trois exercices corrigés de mathématiques portant sur les intégrales et les vecteurs.

Extraits

[...] On en déduit que pmoy∼ε-->04εR4εR e8∼ε-->0e8. Si R1 et R2 tendent vers un certain rayon alors la pression moyenne tend vers e8 qui ne dépend plus de R. Exercice III : déterminer les expressions et les valeurs numériques On a le domaine suivant : On exprime l'aire du domaine et son centre d'inertie en fonction de a et b : S=Ddxdy=x=04y=0a+bxdydx=x=04a+bxdx=ax+23bx32x=04=4a+163b xGS=Dxdxdy=x=04xy=0a+bxdydx=x=04xa+bxdx=a2x2+25bx52x=04=8a+645b On résout le système : 4a+163b=S8a+645b=xGSL2 [...]

[...] Nature du point critique : on calcule les dérivées partielles secondes et on les exprime au point A d2fdx2x,y=-2e-x-y2-2-2x-ye-x-y2=2x+y-4e-x-y2 Donc r=d2fdx2A=278+14-4e-78-142=-2e-1516 d2fdxdyx,y=-4ye-x-y2-1-4xy-2y2e-x-y2=-1-4y+4xy+2y2e-x-y2 Donc s=d2fdxdyA=-1-414+47814+2142e-1516=-2+78+18e-1516=-e-1516 d2fdy2x,y=-4x-4ye-x-y2-2y1-4xy-2y2e-x-y2=-4x-6y+8xy2+4y3e-x-y2 Donc t=d2fdy2A=-478-614+878142+4143e-1516=-72-32+716+116e-1516=-92e-1516 On a s2-rt=e-15162--2-92e-15162=1-9e-15162=-8e-15162 [...]

[...] On commence par calculer l'intégrale interne sur y : y=b1xex+1-ycosy2-1+4xdy=xex+1y-12siny2-1+4xyy=b1=xex+1+4x-xex+1b-12sinb2-1+4xb=xex+1+4x1-b+12sinb2-1 On peut alors intégrer le résultat suivant x pour obtenir le flux : ϕV=x=-1axex+1+4x1-b+12sinb2-1 dx Par intégration par parties : xex+1dx=xex+1-ex+1dx=xex+1-ex+1=(x-1)ex+1 On a donc : ϕV=x-1ex+1+2x21-b+12sinb2-1xx=-1a=a-1ea+1+2a21-b+12sinb2-1a--2+21-b-12sinb2-1=a-1ea+1+2a21-b+12sinb2-1a+1. Dans l'expression du champ la variable z est toujours mise au carré ou à la puissance 4. On en déduit que Vx,y,-z=V(x,y,z). Le plan xOy est donc un plan de symétrie pour ce champ. On a le schéma suivant : On se place en coordonnées cylindriques : x=rcosθy=rsinθ. [...]