Démarches mathématiques

Thèmes abordés

Point critique, analyse des points critiques, schéma, Géogebra, mécanique des fluides, champ de vecteurs, plan de symétrie, champ scalaire, valeur numérique des constantes, fonction, notation de Monge, extremum local, intégrale

Résumé du document

Ce document propose 3 exercices corrigés avec explication de la démarche mathématique niveau Master. Modélisation 3D, matrice Hessienne, vecteur, mécanique des fluides...

Extraits

[...] On a bien un unique extremum local. Le développeur d'image 3D est donc sur la bonne voie. Pour déterminer la pente la plus forte, et donc la direction à éviter, on calcule le gradient au point B : gradfB=dfdxdfdyB=2-2x2-1e-2-121-4x2x1-2x12e-2-12=-3e-3-9e-3 Exercice 2 On cherche à calculer le flux à travers la surface suivante (figure générée par Geogebra 3D) : ϕ=SV∙ndS=x∈-1,ay∈b,1Vzx,y,z=2dxdy=x=-1ay=b1xex+1-ycosy2-1+4xdydx . On calcule d'abord l'intégrale selon y : y=b1xex+1-ycosy2-1+4xdy=xex+1y-12siny2-1+4xyy=b1=xex+1+4x-xex+1b-12sinb2-1+4xb=xex+1+4x1-b+12sinb2-1 On calcule ensuite l'intégrale selon x : ϕ=x=-1axex+1+4x1-b+12sinb2-1 dx Intermédiaire de calcul : xex+1dx=xex+1-ex+1dx=xex+1-ex+1=(x-1)ex+1 On en déduit finalement : ϕ=x-1ex+1+2x21-b+12sinb2-1xx=-1a=a-1ea+1+2a21-b+12sinb2-1a--2+21-b-12sinb2-1=a-1ea+1+2a21-b+12sinb2-1a+1. [...]

[...] Pour la première équation, on a alors : 2x+14=2⇔2x=74⇔x=78. On a un unique point critique de coordonnées x0,y0=78,14. On détermine la nature du point critique en calculant les dérivées partielles secondes : d2fdx2x,y=-2e-x-y2-2-2x-ye-x-y2=2x+y-4e-x-y2 Avec la notation de Monge, r=d2fdx2x0,y0=2x78+14-4e-78-142=-2e-1516 d2fdxdyx,y=-4ye-x-y2-1-4xy-2y2e-x-y2=-1-4y+4xy+2y2e-x-y2 s=d2fdxdyx0,y0=-1-4x14+4x7814+2x142e-1516=-e-1516. d2fdy2x,y=-4x-4ye-x-y2-2y1-4xy-2y2e-x-y2=-4x-6y+8xy2+4y3e-x-y2 t=d2fdy2x0,y0=-4x78-6x14+8x78x142+4x143e-1516=-92e-1516 La nature du point critique est déterminé par s2-rt : s2-rt=e-3016--2-92e-3016=-8e-3016 [...]

[...] Exercice 3 Dans le plan, la plaque est représentée par le domaine suivant (graphique généré avec Geogebra) : On cherche a et b. Pour cela on calcule S et xG (en fait il est plus pratique de calculer xGS) en fonction de a et car on connait leurs valeurs numériques : S=Ddxdy=x=04y=0a+bxdydx=x=04a+bxdx=ax+23bx32x=04=4a+163b xGS=Dxdxdy=x=04xy=0a+bxdydx=x=04xa+bxdx=a2x2+25bx52x=04=8a+645b On obtient le système suivant : 4a+163b=S8a+645b=xGS On élimine a en faisant la deuxième ligne moins deux fois la première : 645-323b=xG-2S⇒192-16015b=xG-2S⇒b=1532xG-2S On substitue dans la première équation : 4a+163x1532xG-2S =S⇒4a=S-52xG-2S=6-52xGS⇒a=146-52xGS . [...]