Courbes de fonction et nombres complexes

Thèmes abordés

DM Devoir Maison, fonction trigonométrique, fonction polynôme, tangente, courbe de fonction, nombre complexe, plan complexe, solution d'une équation, cosinus, résolution d'équation, courbe d'équation

Résumé du document

Le document traite 4 exercices de mathématiques concernant les dérivées de fonction, les courbes de fonction et l'équation de la tangente d'une courbe, les nombres complexes et la forme algébrique d'un complexe.

Extraits

[...] Résolvons fn'x=0 soit -n-1-lnx=0 puis lnx=-n-1 donc la solution est unique et vaut xn=e-n-1 (on peut également montrer l'unicité en calculant la dérivée seconde pour montrer que fn' est sctrictement décroissante). Pour calculer l'image de xn, on injecte dans l'expression de fn soit : yn=-nxn-xnlnxn=-nxn-xn-n-1=xn. Ainsi, An appartient à la courbe d'équation y=x. Cherchons en quel point la fn s'annule. fnx=0 équivaut à -nx-xlnx=0 soit xn+lnx=0, ainsi, soit x=0 (impossible car le ln n'est pas défini en 0 et on travaille sur ; +infinity[) soit n=ln⁡(x). On trouve donc x=e-n et la solution est unique. Pour on fn'x=-n-1-lne-n=-n+b-1=-1. [...]

[...] Or on sait que comme PI5 est dans [0;PI2] cosPI5 est positif. Ainsi, cosPI5=1+54. Sujet A : D'après la relation de récurrence de l'énoncé, il vient : z1=1+i ;z2=1+i22=2i2=i;z3=i+12i=-12+i2 et z4=i+12-12+i2=-i4-14-14+i4=- Notons zn=un alors d'après l'énoncé, il vient : un+1un=1+i2=1+14=12. Ainsi, la suite un est géométrique de raison 12 et de premier terme u0=2=2 donc pour tout entier naturel n on a : un=212n. Dire que les points An appartiennent au disque de centre 0 et de rayon 0,1 est équivalent à dire que la la norme de leur affixe est inférieure à 0,1 ; soit zn=un≤0,1. [...]

[...] Courbes de fonction et nombres complexes Maths : Ex : Partie A : Dire que la courbe doit passer par A et B revient à dire que f0=0 et f4=1. De plus, la condition sur les tangentes impose que est dérivable sur l'intervalle considéré) : f'0=f'4=0. Enfin, si la courbe passe par on doit avoir : f2=0,5. Or : f'x=bPI4cosc+PIx4 donc on doit vérifier : f0=a+bsin(c)=0f4=a+bsinc+PI=1f2=a+bsinc+PI2=0,5f'0=bPI4cosc=0f'4=bPI4cosc+PI= la dernière équation donne soit b=0 soit c=(2k+1)PI2, la première solution est impossible car sinon a=0 d'après la première et donc la seconde n'est pas vérifiée. [...]