Corrigé - Concours d'admission 2004 - Ecole polytechnique - Mathématiques I - MP

Résumé du document

Corrigé de l'épreuve de mathématiques 1 au concours d'admission 2004 à l'École polytechnique, filière MP.

Extraits

[...] D'apr`es la question 5., cela ´equivaut dire que l'´equation admet une unique solution xε dans Br D'apr`es la question 6.c) puis la question 6.b), on a successivement kxε k = kUε xk eA T ekakT αr 1 − eA εC ≤ε avec eA T ekakT αr ∈ R 1 − eA Ainsi, xε converge uniform´ement vers la fonction nulle quand ε tend vers Soit U ∈ R. On d´efinit la suite de fonctions (un )n∈N sur Br par ( u0 = U ∀n ∈ N un+1 = Uε un La fonction u0 ainsi d´efinie est constante. Supposons qu'`a un rang n ∈ un soit constante. [...]

[...] Soit x une solution de et soit t ∈ R. Pour tout u ∈ g −1 = g −1 + g −1 et comme g 0 = alors g −1 = g −2 0 + g −1 Par int´egration sur on obtient Z t Z t Z t g −1 (u)x(u)du = g −2 0 (u)x(u)du + g −1 du puis par int´egration par parties, Z t Z t Z t g −1 (u)x(u)du = −g −1 + g −1 + g −1 (u)x0 (u)du + g −1 du i.e. [...]

[...] Du principe de r´ecurrence, on en d´eduit que (un )n∈N est une suite de fonctions constantes. En outre, le th´eor`eme du point fixe utilis´e la question 6.c) nous affirme que la suite (un )n∈N converge vers xε . Soient t1 ∈ R et t2 ∈ alors x (t1 ) = lim un (t1 ) n→+∞ = lim un (t2 ) n→+∞ = x (t2 ) donc xε est constante et en simplifiant l'´equation on trouve que xε v´erifie kxε + εf (xε ) = 0 9.a) Rappelons les formules pour ε0 et ε1 trouv´ees aux questions 6.a) et 6.b) 1 − eA r ε0 = A kakT e Te αr 1 − eA ε1 = min ε A kakT 2e T e βr Avec les donn´ees de la question, on a T A = −1 d'o` u ε0 = k = −1 kak = 1 αr = r − e−1 r ε1 = βr = 2r 1 − e−1 4r 9.b) Soit r > 0. [...]

[...] Les contradictions ´etant vraies, on en d´eduit que β = +∞ donc que x est d´efini sur +∞[⊂ J. En appliquant l'in´egalit´e trouv´ee ` a la question 10. [...]

[...] Montrons maintenant que x est solution de si et seulement si UH x = x. • D'apr`es la question 4., si x est solution de alors pour tout t ∈ R Z t −1 = + g du 0 i.e. = + t Z g −1 du 0 Par diff´erence entre les points t et t + T , on a donc x(t + T ) − = g(t + T ) t+T Z g −1 du t et comme x(t + T ) = et g(t + T ) = eA l'´egalit´e devient − = eA c'est-` a-dire t+T Z g −1 du t Z t+T 1 − 1 = g −1 du eA t d'o` u x = UH x • R´eciproquement, supposons que x = UH x Pour tout t ∈ on a donc eA = 1 − eA Z t 5 t+T g −1 ds Ainsi x est de classe C 1 et sa d´eriv´ee est Z t+T eA −1 −1 −1 x = g g ds + g + T + T t + T ) − g 1 − eA t Par T -p´eriodicit´e de H par rapport sa seconde variable et de l'´egalit´e se simplifie en eA x0 = 1 − eA g 0 t+T Z g −1 ds + g −1 + T ) − g −1 H t et comme g 0 = ag et g −1 + T ) = e−A alors eA x0 = 1 − eA t+T Z g −1 ds + e−A − 1 H t i.e. [...]