Classements, matrices de codage et méthode de Gauss-Jordan

Thèmes abordés

Classements, matrices de codage, méthode de Gauss-Jordan, équations cartésiennes, graphe de dominance

Résumé du document

Ce devoir de mathématiques niveau licence contient 4 exercices corrigés (classements, matrices de codage, méthode de Gauss-Jordan, équations cartésiennes, etc.)

Extraits

[...] Classements, matrices de codage et méthode de Gauss-Jordan Exercice n°1 * On note A pour Argonauts, B pour Barons, C pour Condors, D pour Diablos et E pour Elans. On obtient le graphe de dominance suivant : La matrice d'adjacence associée au graphe précédent est la suivante : M=01-1-11-101-1111-1-11-10-1110-1-110 Note : on met des pour l'élément Mij pour indiquer que l'équipe i a perdu contre l'équipe j. Classement par nombre de victoires : 3 victoires : Diablos 2 victoires : Argonauts, Barons, Condors Vainqueur partie Argonauts contre Barons : Argonauts Vainqueur partie Argonauts contre Condors : Condors Vainqueur partie Barons contre Condors : Barons Il n'est pas possible de départager les trois équipes car A bat B bat C et C bat ce qui forme un cycle victoire : Elans Pour départager les équipes B et C on propose de retirer l'équipe E du tournoi (celle qui est de toute façon en dernière position) et vérifier les scores que s'il n'y avait que les équipes C et D : Dans ce cas on aurait : 2 victoires : Diablos et Condors 1 victoires : Argonauts et Barons Ainsi les Condors se placent en tête du trio C. [...]

[...] Sachant qu'un vecteur normal n est donné pour chacun des plans, on connaît déjà les coefficients a,b,c car n=abc. Le coefficient d est déterminé grâce aux coordonnées xyz du point qui est donné par : d=-ax-by-cz. Plan S : abc=11-10;d=-1x-2-1x-3+10x3=2+3+30=35. Donc l'équation cartésienne du plan S est : x+y-10z+35=0. Plan G : abc=-221;d=2x1-2x12-1x11=2-24-11=-33. Donc l'équation cartésienne du plan G est : -2x+2y+z-33=0. Plan D : abc=3-43;d=-3x12+4x-1-3x11=-36-4-33=-73. Donc l'équation cartésienne du plan D est : 3x-4y+3z-73=0. [...]

[...] Plan A : abc=22-1;d=-2x-7-2x-5+1x0=14+10=24. Donc l'équation cartésienne du plan A est : 2x+2y-1z+24=0. Plan abc=-4-42;d=4x3+4x4-2x1=12+16-2=26. Donc l'équation cartésienne du plan E est : -4x-4y+2z+26=0. L'angle α formé entre les plans S et E est égal à l'angle β formé par les vecteurs nS et nE normaux aux plans S et E si β>=90° ou égal à 180°-β si β [...]

[...] Soit Q le point de coordonnées x,y tel que u=OQ et v=QP. Sachant que u et v sont perpendiculaires on a alors OQ∙QP=0. OQ∙QP=xy∙11-x8-y=x11-x+y(8-y) . Or on sait d'après l'énoncé que u est parallèle au vecteur donc u=k61,k∈R*⇒x=6k et y=k. On remplace dans l'équation précédente : 6k11-6k+k8-k=0⇒66k-36k2+8k-k2=0⇒74k-37k2=0⇒37k2-k=0 donc k=0 (impossible car k∈R*) ou k=2. On a donc u=122 et v=-16. La distance totale à parcourir est égale à d=u+v=122+22+-12+62=148+37=337≈18,25m. [...]

[...] On note C=xCyCzC les coordonnées du centre de l'écran. C est le projeté orthogonal du point P sur le plan E. On a donc les vecteurs PC et nE qui sont colinéaires. PC=xC+9yC+11zC-19=k-4-42, k∈R donc xC=-9-4kyC=-11-4kzC=19+2k. On reporte ces coordonnées dans l'équation cartésienne du plan E (car C∈E) : -4-9-4k-4-11-4k+219+2k+26=0⇒36+16k+44+16k+38+4k+26=0⇒36k+144=0⇒k=-4. On en déduit alors que xC=7yC=5zC=11. La distance entre le projecteur est l'écran est donc la longueur PC=PC=7+95+1111-19=1616-8=162+162+-82=256+256+64=576. Donc PC=24m. [...]