Carnet de devoirs composé de dix exercices variés de calculs

Thèmes abordés

Licence Mathématique, valeur approximative, somme de Riemann, logiciel Graphmatica, intégrale, théorème fondamental du calcul intégral, aire, surface plane, probabilités, courbe de Lorenz

Résumé du document

Ce document propose la correction de plusieurs exercices de calcul de mathématique portant notamment sur la valeur approximative, la somme de Riemann, le calcul intégral, la courbe de Lorenz, etc.

Extraits

[...] μ=lims-->+infinityμs= f0,7=0,36x0,73+0,42x0,72+0,22x0,7=0,48328 L'interprétation de ce résultat est que 70% de la population détient moins de la moitié des revenus d'un pays. A l'inverse, la moitié des revenus est détenu par moins de 30% de la population. Le coefficient de Gini est donné par la formule G=AA+B où A est l'aire comprise entre la droite d'équi-répartition et la courbe de Lorenz, et B l'aire sous la courbe de Lorenz. On peut facilement écrire que A+B=12 (aire d'un triangle rectangle isocèle de côté d'où A=12-B⇒G=12-B12=1-2B. B=01fxdx=010,36x3+0,42x2+0,22xdx=0,36x44+0,42x33+0,22x2201=0,09x4+0,14x3+0,11x201=0,09+0,14+0,11=0,34. On a donc G=1-2x0,34=1-0,68=0,32. [...]

[...] Carnet de devoirs composé de dix exercices variés de calculs 1. On peut approximer 14exdx par la somme de Riemann S6=4-16k=16fxi-1+xi2 avec fx=ex et xi=1+i4-16=1+12i, On a donc : S6=12e54+e74+e94+e114+e134+e154≈14,773. Par la méthode des sommes à gauche, on obtient S6gauche≈13,621. Par la méthode des sommes à droite, on obtient S6droite≈ 243x2-2dx=limn-->infinitymaxΔxi-->0i=1nfxiΔxi. On pose xi=2+i4-2n=2+2in, et Δxi=4-2n=2n, d'où 243x2-2dx=limn-->infinityi=1nf2+2in2n =limn-->infinityi=1n32+2in2-22n =limn-->infinity2ni=1n34+8in+4i2n2-2 =limn-->infinity2ni=1n10+24in+12i2n2 ; i=1n10+24in+12i2n2 =i=1n10+24ni=1ni+12n2i=1ni2=10n+24nnn+12+12n2nn+12n+16=10n+12n+1+2n+12n+1n ; Donc 243x2-2dx=limn-->infinity2n10n+12n+1+2n+12n+1n=limn-->infinity20+24n+1n+4n+12n+1n2=20+24+8=52. Par le calcul intégral classique : 243x2-2dx=3x33-2x24=x3-2x24=43-2x4-23-2x2=64-8-8-4=56-4= On retrouve bien le même résultat 427x2-x+23x2dx=4273-131x+231x2dx=73x-13lnx-231x42=73x2-13ln2-2312-73x4-13ln4-2314=143-12ln2-13-283-23ln2-16=28-2-56+16+23-12ln2=-296+16ln2≈- ∀x∈2;+infinity,0 [...]