Calcul de sommes et variable aléatoire - 3 exercices corrigés

Thèmes abordés

Variable aléatoire, mathématiques, tirages équiprobables, probabilité, espérance mathématique, variance, loi de probabilité

Résumé du document

Une urne contient 10 boules, 1 porte le chiffre 0, 3 porte le chiffre 1 et 6 porte le chiffre 2. On extrait simultanément 2 boules de l'urne (tirages équiprobables) et on appelle X la somme des chiffres indiqués par les 2 boules. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V(X).

Extraits

[...] Le total des valeurs des 2piéces tirées définit une variable aléatoire. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer l'espérance mathématique de et la variance de X. Corrigé Calculons la probabilité des évènements suivants : 2 pièces de 5F. PA=C32C102=115 2piéces de 1F PB=C72C102= pièce de 5F et 1Piéce de 1F Pc=C31xC71C102=715 Déterminons la loi de probabilité de X. [...]

[...] pX=3=C61C31C102=615 pX=4 est le rapport entre la probabilité d'extraire simultanément deux boules numérotées 2 parmi 6 et sur la probabilité d'extraire simultanément deux boules numérotées 2 parmi 10. pX=4=C62C102= 515 xi P(X=xi) EX=i=1n=4xixP(X=xi) EX=1x115+2x315+3x615+4x515 EX=1+6+18+2015=4515 EX=3 VX=EX2-EX2 Or : EX2=i=1n=4xi2xP(X=xi) EX2=12x115+22x315+32x615+42x515 EX2=1+12+54+8015 EX2=14715 VX=14715-32 VX=147-13515 VX=45 Exercice 2 Énoncé Une urne contient 3 pièces de 5F et 7 pièces de 1F. On tire simultanément 2 pièces en supposant l'équiprobabilité de tels tirages. Quelle est la probabilité pour que l'on tire : 2 pièces de 5F 2piéces de 1F 1 pièce de 5F et 1Piéce de 1F ? [...]

[...] Variable aléatoire - 3 exercices corrigés Exercice 1 Énoncé Une urne contient 10 boules, la 1 porte le chiffre la 3 le chiffre 1 et la 6 le chiffre 2. On extrait simultanément 2 boules de l'urne (tirages équiprobables) et on appelle X la somme des chiffres indiqués par les 2 boules. Déterminer la loi de probabilité de X .Calculer et V(X). Corrigé Déterminons la loi de probabilité de X Schématisons la situation : Nous constatons que la variable aléatoire X prend les valeurs et 4 Donc X = 1,2,3,4 Calculons l'espérance mathématique et la variance : EX ; VX pX=1 est le rapport entre la probabilité d'extraire simultanément une boule numérotée 0 parmi une et une boule numérotée 1 parmi 3 sur la probabilité d'extraire simultanément 2 boules parmi 10. [...]

[...] Calculons l'espérance mathématique de et la variance de X. Remarquons que : 2 pièces de 5F = 10F 2 pièces de 1F = 2F 1 pièce de 5F et 1Piéce de 1F = 6F Ainsi X prend les valeurs ⇒X=2,6,10 PX=2=PB=715 PX=6=PC=715 PX=10=PA=115 xi P(X=xi) EX=i=1n=3xixP(X=xi) EX=2*715+6*715+10*115 EX=14+42+1015 EX=225 Méthode n°1 : VX=i=1n=3xi-EX2xP(X=xi) VX=2-2252x715+6-2252x715+10-2252x115 VX=14425x715+6425x715+78425x115 VX=1008+448+784375 VX=1008+448+784375 VX=2240375 VX=44875 Méthode n°2 VX=EX2-EX2 Or : EX2=i=1n=3xi2xP(X=xi) EX2=22*715+62*715+102*115 EX2=28+252+10015 EX2=763 VX=763-2252 VX=1900-145275 VX=44875 Exercice 3 Énoncé Dans une urne se trouvent 12 boules non discernables au toucher : 5 rouges et 7 noires. [...]