Calcul de probabilités

Thèmes abordés

probabilités, lois de probabilité, table des quantiles, loi de Poisson, loi binomiale des paramètres, proportionnalités

Résumé du document

Ce document contient quatre exercices corrigés sur les proportions et l'utilisation des lois de probabilités.

Extraits

[...] Cette quantité est également appelée espérance. L'écart type d'une variable X obéissant à une loi binomiale est donné par : σ=np1-p=200*0,04*1-0,04=2,77 Réponse : la probabilité qu'il y ait moins de 3 pièces ayant des défauts parmi les 200 est égale à = + + où est la probabilité de k succès parmi les n expériences. Pour une loi binomiale, nous avons : Pk=nkpk1-pn-k=n k n-k pk1-pn-k Le calcul donne =0,0003, P(k=1)=0,0024 et P(k=2)=0,0099, ainsi P(k [...]

[...] Calcul de probabilités Exercice 1 Réponse : le nombre de codes différents que l'on peut former est égal à 93 = 729. En effet, il y a 9 choix pour le premier chiffre choix pour le second chiffre et 9 choix pour le troisième chiffre, d'où une possibilité de 9*9*9=93 choix au total dans la mesure où chaque chiffre peut être distinct ou non. Réponse : il y a 24 = 2.092279e+13 manières de constituer cette liste. En effet, pour le choix du premier étudiant, il y a 24 possibilités, pour le choix du second étudiant, il y a 23 possibilités, pour le choix du troisième étudiant, il y a 22 possibilités, etc. [...]

[...] Elle est donc inférieure à 0,40. Réponse : la proportion Q de téléviseurs de la seconde marque ayant une durée de vie supérieure à 10000 heures est égale à Q=29/60=0,48. Test d'équivalence ou de différence entre la fiabilité des deux marques : Cela consiste dans un premier temps à calculer F=P+Q=0,83, puis la variable de décision U=P-QF1-F1n+1m=-1,95959 où n=m=60 (nombre de téléviseurs dans chaque échantillon prélevé). La fiabilité des deux marques est équivalente au seuil des c'est-à-dire pour α=0,05, si la valeur de U appartient à l'intervalle -q1-α2,q1-α2, où q1-α2 est le quantile d'ordre 1-α/2=0,975 de la loi normale. [...]

[...] Réponse : la probabilité qu'une pièce soit bonne sachant qu'elle est refusée est donnée par le rapport entre la probabilité qu'une pièce bonne soit refusée et la probabilité qu'une pièce quelconque soit refusée, on a donc P = B / R = 0,038 / 0,087 = 0,4368 Réponse : la probabilité qu'une pièce soit mauvaise sachant qu'elle acceptée est donnée par le rapport entre la probabilité qu'une pièce mauvaise soit accepté et la probabilité qu'une pièce quelconque soit acceptée, on a donc P = M / A = 0,001 / 0,913 = 0,0011 Exercice 3 Réponse : la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètre n = 200 et p = 0,04. En effet, la loi binomiale permet de décrire le nombre de succès dans une série d'expériences identiques et indépendantes, où il n'existe que deux résultats possibles : succès ou échec. Elle est définie par deux paramètres où n est le nombre total d'expériences et p la probabilité de succès dans chaque expérience. Réponses : le nombre moyen de pièces défectueuses sur les 200 prélevées est égal à = 200 * 0.04 = 8. [...]

[...] D'après la table des quantiles, on a q1-α2=1,96, par conséquent U∈-q1-α2,q1-α2, donc la fiabilité des deux marques peut être considérée comme équivalente. La seconde marque de téléviseurs n'est pas plus fiable que la première. [...]