Calcul de la loi de probabilité, de l'espérance « E (X) » et de la variance « V (X) » d'une variable aléatoire

Thèmes abordés

Sciences économiques, Variable aléatoire, loi de probabilité, espérance mathématique, variance, urne, boule numérotée, sac de boules, tirage, équiprobabilité, couleur, numéro, épreuve, espace probabilisé, probabilité, évènement

Résumé du document

Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire en même temps 2 boules de cette urne (tirages équiprobables) ; à chaque éventualité on associe le plus petit nombre porté par l'une des 2 boules. On définit ainsi une variable aléatoire X. Déterminer la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V(X).

Extraits

[...] Ce candidat a révisé seulement 12 sujets. On considère la variable aléatoire X prenant pour valeur le nombre de sujets révisés parmi les 3 sujets tirés. 1° Quelle est la loi de probabilité de 2° Quelle est la probabilité pour que le candidat obtienne au moins un sujet révisé ? Corrigé : 1° Déterminons la loi de probabilité de X. XΩ=k=0,1,2,3 Si k=0⇒PX=0=C83C203=561140 Si k=1⇒PX=1=C121xC82C203=3361140 Si k=2⇒PX=2=C122xC81C203=5281140 Si k=3⇒PX=3=C123C203=2201140 xi PX=xi 2°Calculons la probabilité pour que le candidat obtienne au moins un sujet révisé PX>=1=1-PX=0=1-561140=10841140=271285 PX>=1=271285≈0,9508. [...]

[...] Calcul de la loi de probabilité, de l'espérance « E »et de la variance « V » d'une variable aléatoire Exercice n°1 : à partir d'un tirage équiprobable d'urne Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire en même temps 2 boules de cette urne (tirages équiprobables) ; à chaque éventualité on associe le plus petit nombre porté par l'une des 2 boules. On définit ainsi une variable aléatoire X. Déterminer la loi de probabilité de X .Calculer et V(X). [...]

[...] PX=1=4xC11C52=410 PX=2=3xC11C52=310 PX=3=2xC11C52=210 PX=4=C11C52=110 xi PX=xi EX=i=1n=4xixPX=xi EX=1x410+2x310+3x210+4x110 EX=4+6+6+410=2010 EX=2 EX2=i=1n=4xi2xPX=xi EX2=12x410+22x310+32x210+42x110 EX2=4+12+18+1610 EX2=5010 EX2=5 VX=EX2-EX2 VX=5-22 VX=1 Exercice n°2 : à partir d'un tirage simultané de boules d'un sac Un sac contient 10 boules : 1 boule blanche et 4 boules noires numérotées de 1 à 4 et 5 boules rouges numérotées de 1 à 5. Les boules ne diffèrent que par leur couleur ou par le numéro qu'elles portent. Une épreuve consiste à tirer simultanément 3 boules du sac, on considère que toutes les éventualités sont également possibles. 1°Définir l'espace probabilisé correspondant à cette épreuve. [...]

[...] Corrigé : 1°Définissons l'espace probabilisé correspondant à cette épreuve L'espace probabilisé est la suivante : Ω,PΩ,p Avec card Ω=C103=120. 2° Calculons les probabilités des événements suivants : La probabilité de tirer 3 boules rouges est : P(E1)=C53C103=10120 La probabilité de tirer 3 boules noires est : P(E2)=C43C103=4120 La probabilité de tirer 3 boules de même couleur est : P(E3)=C53+C43C103=14120 La probabilité de tirer 3 boules de couleurs différentes est : P(E4)=C11xC41xC51C103=20120 La probabilité de tirer exactement 2 boules de même couleur (tirage bicolore) est : P(E5)=C103-(C53+C43+C11xC41xC51)C103=86120 Autre méthode : P(E5)=C42xC11+C42xC51+C52xC11+C52xC41C103=86120 La probabilité de tirer une boule blanche et 2 boules de même numéro est : P(E5)=4xC11xC11xC11C103=4120 3° Donnons XΩ ensemble image de Ω par X et déterminons la loi de probabilité de X puis calculons EX. [...]