Calcul d'intégrale - publié le 05/11/2023

Thèmes abordés

Intégrale, fonction, équation, volume, formule du barycentre

Résumé du document

Ce document comporte 3 exercices corrigés de mathématiques sur les intégrales.

Extraits

[...] Le volume de la demi sphère est V2=1243PIr3=1243PIPI23=PI412. On peut retrouver cela avec les intégrales, car l'équation de ce demi cercle est x2+y2=PI24 donc y(x)=PI24-x² donc le volume vaut comme plus haut : V1=-PI/2PI/2PIPI24-x22dx=PI-PI/2PI/2PI24-x2dx=PIPI24x-x33-PI/2PI/2=PIPI38-PI324-PI38-PI324=PI412 La formule du barycentre pour une surface homogène est yG=y dyS, en notant la longueur pour l'ordonnée y de la section selon l'axe x. Par ailleurs, comme on a une symétrie par rapport à l'axe on a aussi ly=2x(y). On trouve alors : yG1=201y lydyS=201y Acosx dyA1 Posons y=cos⁡(x) ainsi, dy=-sinxdx et x evolue entre 0 et PI2. [...]

[...] Problème 2 : L'aire de la plaque P1 vaut A1=-PI/2PI/2cosxdx=sinx-PI/2PI/2 Comme on connait la masse surfacique ρ on en déduit que M1=ρA1=2ρ. Lorsque l'on fait tourner la plaque autour de Oy, chaque pointde la courbe va décrire un cercle et le volume sera donc la somme continue de l'aire de tous ces cercles. Un cercle a pour aire PIr² donc comme il vient que : V1=-PI/2PI/2PIcos²xdx=PI-PI/2PI/2cos2x+12dx=PIsin2x4+x2-PI/2PI/2=PIPI4--PI4 (car cos2a=2cos²(a)-1) Finalement, on trouve alors V1=PI22. L'aire du demi disque est A2=12PIr2=12PIPI24=PI38. Ainsi, on en déduit que M2=A2ρ=PI38ρ. [...]