Calcul intégral et algèbre linéaire

Thèmes abordés

Calcul intégral, algèbre linéaire, suite arithmétique, suite géométrique, géométrie vectorielle, polynôme, matrice, covariance, série de Riemann

Résumé du document

Ce document propose deux exercices corrigés de mathématiques.
Le premier a pour thème l'algèbre linéaire, le devoir porte sur les autres liens entre l'algèbre linéaire et la géométrie vectorielle.
Le second concerne le calcul intégral, le devoir porte sur les suites et les séries.

Extraits

[...] Question 4 On calcule d'abord la moyenne de X et de Y. On trouve : X=80, Y=100. Enfant A B C D E F G H I J Nombre d'heures passées devant la télévision mensuel - lement X-X -25 -17 -10 - Résultat au test de développement Y-Y - -14 On a alors le tableau suivant : Tableau des écarts à la moyenne On utilise la formule suivante pour calculer la covariance : CovX,Y=i=1nXi-XYi-Yn-1. On obtient la matrice de covariance suivante : C=CovX,XCovX,YCovY,XCovY,Y≈205,56-90,89-90,8980,89. [...]

[...] On a donc un+1=un-250-8,412x1100xun=1+8,412x1100un-250=1,007un-250. C'est une suite arithmético-géométrique. On utilise la même méthode qu'à la question 9. 1,007α-250=α⇔0,007α=250⇔α=2500,007. On pose vn=un-α. vn+1vn=un+1-αun-α=1,007un-250-2500,007un-2500,007=1,007 donc vn est une suite géométrique de raison 1,007. vn=v1x1,007n-1=u1-2500,007x1,007n-1=24000-2500,007x1,007n-1=-820,007x1,007n-1. On a donc un=vn+α=-820,007x1,007n-1+2500,007=250-82x1,007n-10,007. On cherche n tel que un25082⇒n-1ln1,007>ln25082⇒n>ln25082ln1,007+1≈160,8 donc n=161 mois. Soit m la mensualité. Alors en reprenant les mêmes notations on a vn=24000-m0,007x1,007n-1 et α=m0,007 donc un=24000-m0,007x1,007n-1+m0,007=168-m0,007x1,007n-1+m0,007=m+168-mx1,007n-10,007. [...]

[...] On obtient alors v2=0,470,88. Il s'agit de la deuxième composante principale. On note p=74 le vecteur position de l'enfant G. Le score sur la première composante principale est s1=p∙v1=74∙0,88-0,47=4,28. Le score sur la deuxième composante principale est s2=p∙v2=74∙0,470,88=6,81. On a le graphique suivant : Question 1 On réécrit les termes de la suite de la façon suivante : 53,86,1112,1424,1748. On remarque qu'à chaque nouveau terme le numérateur augmente de 3 et le dénominateur est doublé. Le numérateur correspond à la suite arithmétique Nn=2+3n, et le dénominateur correspond à une suite géométrique Dn=3x2n-1, n>=1. [...]

[...] Du mois n au moins n+1 on a la relation de récurrence suivante : un+1=1,0055un+100. Il s'agit d'une suite arithmético-géométrique. On calcule le point fixe α, solution de l'équation fx=x où fx=1,0055x+100. fx=x⇔1,0055x+100=x⇔0,0055x=-100⇔x=-1000,0055 On pose vn=un-α=un+1000,0055. vn+1vn=un+1+1000,0055un+1000,0055=1,0055un+100+1000,0055un+1000,0055=1,0055un+0,550,0055+1000,0055un+1000,0055=1,0055un+100,550,0055un+1000,0055=1,0055un+1000,0055un+1000,0055=1,0055 donc vn est une suite géométrique de raison 1,0055. On a vn=v1x1,0055n-1=u1+1000,00551,0055n-1=100+1000,00551,0055n-1=100,550,00551,0055n-1=1000,00551,0055n. On en déduit que un=vn+α=1000,00551,0055n-1000,0055=1000,00551,0055n-1. Au bout de 20 ans, on est à 240 mois, donc la valeur définitive du fonds est u240=1000,00551,0055240-1≈49635 La valeur actuelle du fonds est calculée à l'aide de la formule un=1000,00551,0055n-1. [...]

[...] On en déduit que limn-->infinityun=0. Question 2 On pose un=14n2-1. On a un∼n-->+infinity14n2. La série de terme général 1n2 est convergente (série de Riemann) donc un est convergente. un=14n2-1=12n+12n-1=A2n+1+B2n-1 A2n+1+B2n-1=2n-1A+2n+1B2n+12n-1=2A+2Bn+B-A2n+12n-1 donc 2A+2B=0B-A=1⇒B=-A-2A=1⇒B=12A=-12. On a donc un=122n-1-122n+1=vn-1-vn avec vn=122n+1. On a donc n=1Nun=n=1Nvn-1-vn=v0-v1+v1-v2+ . +vN-1-vN=v0-vN=12-122N+1. On en déduit que n=1+infinity14n2-1=n=1+infinityun=limN-->infinityn=1Nun=limN-->infinity12-122N+1=12. Soit un=2n6n+3n6n=26n+36n=13n+12n. On a la somme de deux termes généraux d'une série géométrique convergente, donc un est convergente. n=1+infinityun=n=1+infinity13n+12n=n=1+infinity13n+n=1+infinity12n=11-13+11-12=123+112=32+2= Question 3 On pose un=3n+25n-1 . On a unn-->+infinity0. un+1un=3n+1+25n+1-1 3n+25n-1 =3n+35n+4 3n+25n-1 =3n+35n+4 5n-1 3n+2=3 5n-1 5n-1 5n5n+15n+25n+35n+4=35n5n+15n+25n+35n+4n-->+infinity0. [...]