Calcul et géométrie - Les volumes

Thèmes abordés

Géométrie, volume, aire, rayon, solide, théorème isopérimétrique, pavé droit, cylindre de révolution

Résumé du document

On cherche à construire un solide de volume maximal dont l'aire totale (somme des mesures des aires de chaque face) est inférieure à 6 dm au carré.
Décrivez la démarche mise en oeuvre en explicitant les calculs effectués.
Construisez 3 patrons de solides différents en indiquant toutes les mesures.

Extraits

[...] Pavé droit : Appelons x,y et z les dimensions du pavé droit. On a : S=2xy+xz+yz=6 donc xy+xz+yz=3 V=xyz La première égalité nous donne : z=3-xyx+y, que l'on remplace dans la deuxième équation pour obtenir : V=3xy-(xy)2x+y On veut le volume maximal, donc en fixant par exemple y=y0, il faudrait dériver V selon x et annyler la dérivée pour obtenir la valeur de x rendant le volume maximal. Mais on peut faire la même chose en fixant x et en dérivant par y. [...]

[...] Cylindre de révolution : Appelons r le rayon du cylindre et h sa hauteur. On a : A=2PIrh+2PIr2=2PIrh+r=6 On obtient : h+r=62PIr, soit : h=3PIr-r Puis on a : V=hPIr2=PI(3r-PIr3) Dérivons Vr par rapport à r : V'r=PI(3-3PIr2) Cherchons la valeur de r qui annule la dérivée : V'r=03-3PIr2=01-PIr2=0 On obtient : r=1PIdm Puis : h=3PIPI-1PI=2PIdm Le volume du cylindre obtenu est donc de : V=2PIPIx1PI=2PIdm3 En valeur approchées, on obtient : r≈0,56dm ; h≈1,13dm ; V≈1,13dm3 On obtient donc un volume un peu plus important que pour le pavé droit, mais toujours très inférieur à la boule. [...]

[...] Puisque l'on veut un volume maximal, prenons l'aire la plus grande possible, c'est-à-dire 6cm3 et calculons alors le rayon de la boule, et le volume obtenu. On a : A=4PIr2=16dm2 d'où : r=2PIdm On obtient ainsi le volume suivant : V=43PIr3=163r=323PIdm3 En valeurs approchées, on obtient une boule de rayon environ égal à environ 1,12dm, pour un volume obtenu égal à environ 6,02dm3. Remarque pour l'élève : le problème est assez mal posé, car si on cherche réellement à construire le solide de plus grand volume, il n'y a pas le choix, c'est cette boule. Et il n'y en a pas 3 comme suggère l'énoncé. [...]