Calcul des exposants des facteurs premiers dans une factorielle

Thèmes abordés

Calcul, exposant des facteurs, facteur premier, factorielle, nombre de multiples, nombres premiers

Résumé du document

On note [x] la partie entière de x réel
1. Démontrer que l'exposant du facteur premier p dans n! est = [ n/ p ]+[ n / p2 ]+ ...
2. En déduire que l'exposant de 2 dans 100! est 97 et l'exposant de 5 dans 100! est 24
3. En déduire que 100! se termine par 24 zéros

Extraits

[...] Pour 100 le facteur premier 2 aura pour exposant α = 1002+ 1002²+ 1002³+ ....1002? = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97 Remarque : On s'arrête à 1002?car 1002?= 0 Pour 100 le facteur premier 5 aura pour exposant α = 1005+ 1005²= 20 + 4 = 24 3. D'après la question précédente, dans la décomposition de 100 apparaîtra x donc x x = x x = x donc 100 ! se termine par 24 zéros. [...]

[...] Calcul des exposants des facteurs premiers dans une factorielle 1. Soit on a alors n ! = 1 x 2 x ....x x n α est exposant du facteur p donc pour trouver il faut essayer de trouver combien de fois apparaît p dans la décomposition en facteurs premiers de n ! Attention : il ne faut pas les compter plusieurs fois. Il faut comprendre que le nombre de multiples de p est np, Exemple : si n = 16, le nombre de multiples de 3 sont 163= 5,33333 donc 163= 5 De même, le nombre de multiples de est le nombre de multiples de est et ainsi de suite. [...]