Calcul différentiel, intégral et équations différentielles

Thèmes abordés

Équation différentielle, calcul intégral, calcul différentiel, variation de la constante, intégrales, polynôme, algèbre, fonctions

Résumé du document

Le document résout plusieurs exercices sur la thématique des équations différentielles et des intégrales.

Extraits

[...] En reportant dans l'équation initiale : k'Y+kY'-kYx=x2 ⇒kY'-Yx+k'Y=x2⇒k'Y=x2⇒k'x=x2xeK=xe-K On en déduit que kx=e-Kx22 d'où ypx=e-Kx22xeK=x32 On a donc comme solution générale yx=Yx+ypx=xeK+x32 La condition initiale donne y1=1=eK+12⇒eK=12, donc yx=x2+x32. On pose Y solution de l'équation harmonique Y'+Y=0⇒Y'=-Y⇒dYdx=-Y⇒dYY=-dx En intégrant on obtient : lnY=-x+K⇒Yx=eKe-x où K est une constante. Pour trouver une solution particulière on utilise la méthode de Lagrange : yp=kY⇒yp'=k'Y+kY'. En reportant dans l'équation initiale : k'Y+kY'+kY=11+ex ⇒kY'+Y+k'Y=11+ex⇒k'Y=11+ex⇒k'x=11+exeKe-x=ex1+exe-K On pose u=ex⇒du=exdx ex1+exdx=du1+u=ln1+u=ln1+ex On en déduit que kx=e-Kln1+ex d'où ypx=e-Kln1+exeKe-x=ln1+exex On a donc comme solution générale yx=Yx+ypx=eKe-x +ln1+exex La condition initiale donne y0=ln2=eK, donc yx=ln2e-x +ln1+exex=ln2+ln1+exex. [...]

[...] En reprenant la calcul fait Partie Exercice on obtient yhx=eKe-x où K est une constante. On définit une fonction tel que ypx=kxyhx⇒yp'x=k'xyhx+kxyh'x. En reportant dans l'équation différentielle initiale on obtient k'xyhx+kxyh'x+kxyhx=ex-1⇒kxyh'x+yhx+k'xyhx=ex-1⇒k'xyhx=ex-1⇒k'x=ex-1eKe-x=e-Ke2x-ex. En intégrant on obtient : kx=e-Ke2x2-ex, d'où ypx=e-Ke2x2-exeKe-x=12ex-1. On cherche une solution particulière de la forme ypx=Aex+B⇒yp'x=Aex. En reportant dans l'équation différentielle initiale on obtient Aex+Aex+B=ex-1⇒2Aex+B=ex-1. D'où A=12, et donc ypx=12ex-1. La solution générale est la somme de la solution de l'équation harmonique et de la solution particulière. Donc ygx=yhx+ypx=eKe-x+12ex-1. La condition initiale donne y0=0=eK+12-1⇒eK=12. D'où yx=12e-x+12ex-1=ex+e-x2-1=coshx-1. [...]

[...] En reportant dans l'équation différentielle initiale, on obtient : τA+At+B=E⇒At+τA+B-E=0 donc B=E. On écrit alors : upt=E une solution particulière. La solution générale s'écrit alors : ut=Vt+upt=eKe-tτ+E. La condition initiale donne u0=0=eK+E⇒eK=-E, donc ut=E1-e-tτ. En régime permanent (c'est-à-dire pour les temps très grands), on a le terme e-tτ qui tend vers 0 donc U=E. u3τ=E1-e-3ττ=U1-e-3=U1-1e3≈0.95U A t=3τ on a atteint 95% de la valeur en régime établi U. Annale On pose u=3-2x⇒du=-2dx, donc : A=01dx3-2x=31-du2u=1213duu=12lnu13=ln3-ln1=ln3 On pose u=sinx⇒du=cosxdx, donc : B=0PI2cosxdx3-2sinx=01du3-2u=ln3 C=01xe-xdx=1-2e. [...]

[...] On a alors V=PI-aab21-x2a2dx=PIb2x-x33a2-aa=PIb2a-a33a2 a+-a33a2=PIb22a-23a, donc V=43PIab2. Application numérique : Longueur du grand axe : 300mm = 0.3m ⇒2a=0.3⇒a=0.15m Périmètre (petite largeur) : 600mm = 0.6m ⇒2PIb=0.6⇒b=0.3PIm On a donc V=43PI*0.15*0.09PI2=0.6*0.03PI=0.018PI≈0.005730m3≈5730 cm3. L'aire A de la surface S est exprimé par l'intégrale suivante : A=2PI-aafx1+f'x2dx Exercice 2 Les lois électriques donnent : E=Lditdt+ritut=rit, donc en les combinant on écrit : E=Lrdutdt+ut, de la forme τdutdt+ut=K.E avec K=1 et τ=Lr. K=1 et τ=Lr=70*10-377 ≈0.91*10-3≈0.91ms. On note V solution de l'équation homogène τdVdt+V=0. [...]