Calcul différentiel et analyse

Thèmes abordés

Calcul différentiel, licence de mathématiques, matrice Hessienne, formule de Taylor, inégalité triangulaire, borne inférieure, valeur absolue

Résumé du document

Ce document propose deux exercices corrigés de mathématiques niveau Licence sur le calcul différentiel.

Extraits

[...] Alors les solutions évidentes sont : x=0x=1-y. Or x=0 est impossible. Ainsi, ∀x∈]0;1[, fyx=0 si x=1-y. Soit y∈]0;1[, fy1-y2=1-1-y2-yy1-y2=14y(1-y)². On a aussi a fyx=-yx2+y1-yx. Cette fonction est un polynôme d'ordre 2 dont la forme est une parabole inversée (car De plus, le sommet de la parabole est atteint en x=-b2a=-y1-y-2y=1-y2. On a donc immédiatement que ∀x∈]0,1[, fyx≤fy1-y2. g est dérivable en y sur est sa dérivée vaut : g'y=141-y2-2y1-y, ainsi : g'y=14(1-y)(1-3y) et cette fonction s'annule en 1 et 1/3 mais y ne peut pas être nul donc on a une unique solution y=13. [...]

[...] Soit a∈A, en particulier a∈A et donc dAx≤x-a. Cela est vrai pour tout a donc dAx est un minorant de Ex mais comme dAx est le plus grand de ces minorants dAx≤dAx. On a donc dAx≤dAx [...]

[...] Il vient alors x-a0=0 soit a0=x. Or d'après la caractérisation séquentielle d'un ensemble fermé, un ensemble fermé contient la limite de ses suites convergentes, ainsi en particulier a0=x. Donc x∈A. Soit A une partie fermée. Soit x dans RN. Notons Ex=x-a,∀a∈A d'après les premières questions, cet ensemble admet une borne inférieure Une des caractérisations de la borne inférieure est ∀ε>0,∃e∈Ex :dAx0, ∃an∈A :dAxinfinityx-an=dAx (attention pour passer à la limite on passe en inégalités larges), puis que : x-limn-->infinity(an)=dAx donc est convergente disons vers ax, or comme A est une partie fermée, elle contient les limites de ses suites convergentes. [...]

[...] Soit x dans RN supposons cette fois dAx=0. Comme dA(x) est une borne inférieure de Ex qui est non vide et minoré, d'après la caractérisation séquentielle des bornes inférieures, il existe une suite d'éléments de Ex qui converge vers dA(x). Alors par définition de Ex, pour tout en il existe an dans A tel que en= x-an . On a donc limn-->infinityen=limn-->infinityx-an=dAx=0. Par continuité de la norme il vient alors limn-->infinity(x-an)=0 puis x-limn-->infinity(an)=0. Comme est convergente aussi, disons vers a0. [...]

[...] Vérifions que est définie positive. Tout d'abord, cette matrice est bien réelle et symétrique. Son déterminant vaut 1 donc elle est inversible. Calculons le déterminant du polynôme caractéristique -Hm-αI soit : 23-α131323-α=23-α2-132=13-α1-α ainsi les deux valeurs propres sont réelles, distinctes et strictement positives (13 et 1). On en déduit que est définie positive et donc est définie négative. Soit h1,h2 dans R², on a la formule de Taylor de f en m et à l'ordre 2 est (f13;13=127 et h=h1h2) : fm+h=fm+∇fm.h+12hTHmh+ H ²ε(H) soit encore fm+h=fm+dfdxmdfdxm.h1h2+12h1 h2H(m)h1h2+ H ²ε(H) ou encore f13+h1,13+h2=fm+h1dfdxm+h2dfdym+12h12d2fdx2m+2h1h2d2fdxdym+h2d2fdy2m+ H ²ε(H) Soit finalement en valeurs numériques : f13+h1,13+h2=127-26(h12+h1h2+h22) D'après la question la matrice Hessienne est définie négative en m donc la fonction f atteint un maximum local en m. [...]