Algèbre linéaire - Systèmes évolutifs et diagonalisation

Thèmes abordés

Algèbre, systèmes évolutifs, évolution linéaire, diagonalisation, espace vectoriel

Résumé du document

Le document est un devoir d'algèbre sur l'étude des systèmes évolutifs linéaires et de la diagonalisation.

Extraits

[...] +biNaNi=0 Or AB=I donc BA=I Ainsi on a : bi1a1i+ . +biNaNi=1 (composante de la diagonale de BA donc de Par l'absurde, X n'appartient pas au noyau de aibiT En reprenant le raisonnement ci-dessus, on obtient cette fois-ci : bj1a1i+ . +bjNaNi=0 (Composante de la matrice BA donc I n'appartenant pas à la diagonale de L'inclusion cherchée est donc démontrée. Pour commencer SS-1=I donc on peut utiliser les résultats des questions et Puisqu'on veut le k[ème] élément non nul, on doit avoir x0 qui est un élément de Im(sksk-1T) d'après la question 7). [...]

[...] De par la définition des multiplications de matrices et par une récurrence évidente, si D est une matrice diagonale avec les valeurs alors Dt est également une matrice diagonale avec les valeurs (d1t ,dNt) abT=a1b1⋯a1bN⋮⋱⋮aNb1⋯aNbN Cherchons le noyau de cette matrice. Soit un vecteur X(x de Rn abTX=0 donne : a1b1x1+ . +a1bNxN= aNb1x1+ . +aNbNxN=0 On obtient N égalités qui deviennent : a1(b1x1+ . +bNxN)= aN(b1x1+ . +bNxN)=0 1[er] cas : si a1= . =aN=0 alors la matrice abT est la matrice nulle et son noyau est donc RN et son image le vecteur nul. [...]

[...] Algèbre linéaire - Systèmes évolutifs et diagonalisation Travaux d'analyse Pour avoir xt+1 il faut avoir Axt =0. Ainsi, en admettant que le vecteur xt n'est pas nul, il ne doit pas appartenir au noyau de A. D'où : F=Rn\KerA Par une récurrence immédiate, on a : xt=Atx0 Sous cette forme, il n'est pas facile de déterminer car il faudrait pouvoir calculer facilement les puissances de A et en trouver une limite. Il semble donc nécessaire de diagonaliser la matrice A pour simplifier le calcul de ses puissances. [...]

[...] Pour la valeur propre 12, on obtient : 34x1+14x2-14x3=12x1 -24x1+64x2+24x3=12x2 -34x1+34x2+54x3=12x3 On obtient : x1+x2-x3=0 -x1+2x2+x3=0 -x1+x2+x3=0 On obtient x2=0 puis x1=x3 ( est un vecteur propre de la valeur propre 12 Pour la valeur propre on obtient : 34x1+14x2-14x3=2x1 -24x1+64x2+24x3=2x2 -34x1+34x2+54x3=2x3 On obtient : -5x1+x2-x3=0 -x1-x2+x3=0 -x1+x2-x3=0 On obtient x1=0 puis x2=x3 ( est un vecteur propre de la valeur propre 2 S=110011101 D=1/200010002 SX=Y donne : x1+x2=y1 x2+x3=y2 x1+x3=y3 D'où : x1=12y1-12y2+12y3 x2=12y1+12y2-12y3 x3=-12y1+12y2+12y3 Ainsi S-1=121-1111-1-111 At=SDtS-1 donc xt=(SDtS-1)x0 SDt=(12)t10012t(12)t12t SDtS-1=(12)t+1+12-(12)t+1+12(12)t+1-1212-(12)t+112+(12)t+1-12+(12)t+1(12)t+1+12-2t-1-12t+1+12+2t-1(12)t+1-12+2t-1 Appelons x;y;z les composantes du vecteur x0 diverge sauf si -2t-1x+2t-1y+2t-1z=0 soit ou encore x=y+z Pour que il faut que x=y+z et z=0. D'où x=y est constant pour x0=vect( converge pour x0=vect( 1 ) sauf pour les cas constants ci-dessus. En dehors de ces 2 sous-espaces vectoriels, diverge. [...]