Algèbre linéaire - Systèmes d'équations, matrices et intégrales

Thèmes abordés

Algèbre, équations linéaires, systèmes d'équations, matrices, courbe de Lorenz, coefficient de Gini, intégrale de Riemann, méthode de Cramer, méthode de Gauss

Résumé du document

Ce document est composé de 2 devoirs corrigés en algèbre : résolution de systèmes d'équations linéaires, formes matricielles et calcul d'intégrales.

Extraits

[...] On en déduit finalement que : X=A-1B=1AadjAB=1-525-155-519025025-425-40-251107516560=251. Il faudra donc manger chaque jour 2 Almendras Galletas et 1 Fruta. Réponse 2 Le système d'équations s'écrit sous la forme matricielle AX=B suivante : 1111100-31-1101023x1x2x3x4=170016 detA=1111100-31-1101023=L2 [...]

[...] Réponse 8 L'augmentation du profit total (APT) lorsque la production passe de 450 à 750 unités vaut : APT=450750Rmq-Cmqdq (C'est l'intégrale de la différence entre revenu marginal et coût marginal). APT=4507505q-0,003q2-300+1,2qdq=4507503,8q-0,003q2-300dq=1,9q2-0,001q3-300q450750=1068750-421875-225000-384750-91125-135000= Le profit total a augmenté de 263250 dollars. Réponse 9 Pt≤6=06ftdt=060,25e-0,25tdt=-e-0,25t06=-e-1,5+1≈0,7769. La probabilité qu'il s'écoule 6 minutes ou moins avant qu'il ne passe un taxi est de 0,7769. μ=0infinity tftdt=0infinity t0,25e-0,25tdt Soit μX=0X t0,25e-0,25tdt, alors μ=limX-->infinityμX. Par intégration par parties on a : μX=-0,25te-0,25t0X-0X -e-0,25tdt=-0,25Xe-0,25X-4e-0,25t0X=-0,25Xe-0,25X-4e-0,25X+4. On a alors μ=limX-->infinity-0,25Xe-0,25X-4e-0,25X+4=4. [...]

[...] Combien de collations de chaque sorte devriez-vous manger chaque jour pour atteindre la quantité exacte de chaque nutriment ? Donnez le système d'équations linéaires associé à ce problème et exprimez-le sous la forme d'une équation matricielle AX=B. Trouvez la solution à l'aide de la méthode de la matrice adjointe. Question 2 Quatre pays collaborent à cette aventure : le Canada, les États-Unis, le Danemark et bien sûr le Brésil, point de départ de l'expédition. Elle totalise 17 personnes (États-Uniens, Brésiliens, Canadiens et Danois), mais compte toutefois trois fois plus d'États-Uniens que de Danois. [...]

[...] Des équations paramétriques. Une équation cartésienne du plan PI1 passant les points Q et T. En nettoyant une partie de la surface extérieure de la pyramide envahie par la végétation, vous réalisez que la partie visible de la structure est entièrement recouverte d'or Sachant que les quatre faces latérales de la pyramide ont la même aire, déterminez l'aire totale de la surface recouverte d'or. Certains membres de l'expédition émettent l'hypothèse que la pyramide entière est en or massif. Si c'est le cas, ce serait la découverte du siècle Bien que vous doutiez de cette hypothèse, vous décidez de vous amuser à calculer ce que serait, selon cette supposition, le poids en or de la pyramide. [...]

[...] On calcule l'aire de la surface PQT, et on multipliera ensuite le résultat par 4. (On supposera que la face au sol n'est pas visible, donc pas recouverte d'or). On a SPQT=12PQ∧PT=12-4-280∧-16-1221=12-58884-400=12-5882+842+-4002=12512800≈358,05 m2. L'aire totale de la surface recouverte d'or est donc 4x358,05=1432,2 m2. On calcule le volume du tétraèdre PQST et on multiplie par 2 le résultat obtenu. On a VPQST=16detPQ,PS,PT. detPQ,PS,PT=-4-28-16-284-120021=21-4-28-284=21-16-784=-21x800=- Donc VPQST=16x16800=2800 m3. Le volume total de la pyramide est donc de 2x2800=5600 m3. La masse totale de la pyramide est alors égale à 19,3x5600=108080 tonnes. [...]