Algèbre linéaire et espaces affines

Thèmes abordés

Anneaux, arithmétique, modulaire, méthode RSA, permutation, isométrie, équation, isomorphisme, vecteur, matrice

Résumé du document

Cet exercice corrigé d'arithmétique porte sur le chapitre "Permutations, Isométrie" et permet de s'entrainer sur la notion d'espace affine.

Extraits

[...] Ces 2 espaces sont de dimension 2 donc la matrice qui représente cette application sera une matrice 2x2. Pour trouver cette matrice, il faut trouver les images des vecteurs u'1 et u'2 et les exprimer dans la base de dimension 2 formée des vecteurs e2). Exprimons u'1 dans la base ( e1, e2,u1, u2) : Il existe a,b,c et d tels que u'1=ae1+be2+cu1+du2. On obtient le système d'équations : a+c+id=1 b+di-1=0 -ic+d=i ci-1=-1-i La résolution donne a=2 et d=1+i Ainsi : PI?j u'1=2e1+2e2 On procède de même avec le vecteur u'2 . [...]

[...] D'après le théorème d'isomorphisme, on a : C4/Kerp≅Imp Or Kerp=D et Imp=E On obtient : C4/D≅E Ainsi, la projection sur parallèle à D induit bien un isomorphisme C4/D≅E Les vecteurs de sont : et Pour montrer que il suffit de montrer, comme à la première question, que le système de vecteurs u2, est un système libre, donc une base de C4. Pour cela nous calculons là aussi le déterminant de ce système. Le calcul donne : -2i. Comme ce résultat n'est pas nul, le système est libre et il forme donc une base. On peut en déduire que : L'application PI?j est une application de l'espace sur l'espace E. [...]

[...] Pour l'espace les équations sont évidentes et sont : z=0 et t=0 u2, e1, e2) est un système de 4 vecteurs. Comme C4 est un espace vectoriel de dimension il suffit de montrer que ce système est un système libre pour que ce soit une base de C4. Pour montrer que le système de vecteurs est libre, nous allons calculer le déterminant du système : On trouve det(u1, u2, e1, e2)=1-i en développant par rapport à la dernière colonne par exemple. Le déterminant étant non nul, le système de vecteurs est libre. Il forme donc une base de C4. [...]