Algèbre linéaire - Application à l'étude d'un modèle de système économique

Thèmes abordés

Algèbre linéaire, système économique, modèle de Leontief, équation, matrice

Résumé du document

Ce document propose un exercice d'algèbre appliqué à un problème économique. L'énoncé est fourni dans un premier temps pour que vous puissiez réaliser l'exercice par vous-même et vous entraîner puis une correction détaillée de chaque question est proposée.

Extraits

[...] Une façon de résoudre ce système est Naturellement, nous avons besoin ici que la matrice I-A soit inversible, qui ne pourrait pas être toujours le cas. Question 3 Dans les exemples des questions 1 et quels sont les exemples/questions où IA est inversible ? Si, en outre, est à coefficients non négatifs, alors les composantes du vecteur P sont non négatives et donc ils sont acceptables comme solutions pour ce modèle. Nous disons dans ce cas-ci que la matrice A est productive. Question 4 Traiter l'exemple suivant. [...]

[...] Question 7 I-A est supposée non inversible. Le système peut-il fonctionner en mode fermé ? en mode ouvert ? Commenter. Devoir d'Alg`ebre num´ero 1 : Application l'´etude d'un mod`ele de syst`eme ´economique 19 octobre Le mod` ele ferm´ e de Leontief Question 1 On cherche ` a montrer l'existence d'un niveau de production de chacune des industries permettant de satisfaire les demandes externes et internes, i.e., on cherche s'il existe un vecteur P avec des composantes non n´egatives tel que AP = P u A d´esigne la matrice d'entr´ee-sortie du syst`eme. [...]

[...] Alors, le nombre total d'unités produites par l'industrie Si est donné par : p1mi1+p2mi2+ +pnmin. Afin d'avoir une économie équilibrée, la production totale de chaque industrie doit être égale à sa consommation totale. Ceci donne le système linéaire: Si alors le système ci-dessus peut être écrit comme AP=P où . La matrice A s'appelle la matrice d'entrée-sortie du système. Nous recherchons alors un vecteur P avec des composantes non négatives satisfaisant et au moins une de ses composantes positive. Dans les questions 1 et 2 on étudiera l'existence d'un niveau de production de chacune de ces industries (un vecteur permettant de satisfaire les demandes externes et internes en supposant que le modèle ci-dessus est fermé ; c'est-à-dire, il n'y a pas d'échange de marchandises avec l'extérieur du système. [...]

[...] Pour produire de l'électricité, il faut $0,25 de charbon, d'électricité et $0,15 d'automobile. Finalement, pour produire la valeur d'automobile, l'usine de fabrication-automobile doit acheter de charbon, de l'électricité et d'automobile. Supposons également que pendant une période d'une semaine, l'économie a une demande extérieure de $50.000 du charbon, $75.000 d'électricité, et $125.000 en automobiles. Existe-t-il un niveau de production de chacune des trois industries dans cette période d'une semaine afin de satisfaire exactement les demandes internes et externes ? Question 5 Traiter l'exemple suivant. [...]

[...] Finalement, pour produire la valeur d'automobile, l'usine de fabrication-automobile doit acheter $0,65 de charbon, de l'électricité et $0,75 d'automobile. Supposons également que pendant une période d'une semaine, l'économie a une demande extérieure de $50.000 du charbon, $75.000 d'électricité, et $125.000 en automobiles. Existe-t-il un niveau de production de chacune des trois industries dans cette période d'une semaine permettant de satisfaire exactement les demandes internes et externes ? Question 6 On reprend intégralement l'exemple de la question 5 à l'exception de la valeur de la demande extérieure en automobile. [...]