Algèbre linéaire

Thèmes abordés

Algèbre linéaire, statistiques, matrice de transition, équation matricielle, matrice de transformation, plan cartésien, calcul matriciel

Résumé du document

"Pour cette première question, on peut utiliser une matrice de transition qui permettra de passer de l'année n à l'année n+5. Dans cette matrice, la première ligne correspond aux francophones, la deuxième ligne aux anglophones et la troisième aux allophones."

Extraits

[...] Déterminez le nombre de personnes qui parleront chacune de ces langues dans dix ans. Pour déterminer le nombre de personnes qui parleront chacune des langues dans 10 ans, on applique la matrice M une deuxième fois : 0,950,150,50,050,840,200,010,3x6,781,1130,307=6,761451,335320,10323 Dans 10 ans, il y aura donc 6,76145 millions de francophones millions d'anglophones et 0,10323 millions d'allophones. Déterminez le nombre de personnes qui parleront chacune de ces langues à long terme. Pour cette question, il va falloir calculer les puissances nièmes de M. [...]

[...] Pour trouver la matrice inverse, on peut résoudre le système suivant : -34x+58y=X -12x-14y=Y ⟺ -6x+5y=8X -2x-y=4Y ⟺ y=-2x-4Y -6x-10x-20Y=8X ⟺ x=-12X-54Y y=X-32Y On a ainsi : T-1=-12-541-32 Vérifions que si on applique cette nouvelle matrice aux résultats obtenus au on obtient bien les vecteurs formant l'image du curseur principal : -12-541-32x-11-1 122-2 C'est bien le cas. À l'aide d'un calcul, montrez que la matrice T n'a pas de valeurs propres. Calculons le polynôme caractéristique de la matrice T : PX=-34-X58-12-14-X PX=-34-X-14-X+58x12 PX=X2+X+316+516 PX=X2+X+12 ∆=1-4x12=1-2=-1 Le trinôme n'a donc aucune racine réelle. Ainsi, la matrice T n'est pas diagonalisable dans le corps des réels. [...]

[...] Pour cela nous allons diagonaliser cette matrice. On a le polynôme caractéristique qui vaut : PX=0,95-X0,150,50,050,84-X0,200,010,3-X En développant par rapport à la troisième ligne, on obtient : PX=-0,01x0,95-Xx0,2-0,05x0,5+(0,3-X)[0,95-X0,84-X-0,15x0,05] PX=-0,01x-0,2X+0,165+(0,3-X)(X2-1,79X+0,7905) PX=-X3+2,09X2-1,3255X+0,2355 Comme pour toutes les matrices de transition, λ1=1 est valeur propre. On peut donc factoriser par Obtient : PX=(X-1)(-X2+1,09X-0,2355) Pour l'équation du second degré, on a : ∆=0,2461 λ2=-1,09-0,2461-2≈0,79 λ3=-1,09+0,2461-2≈0,30 On aura ainsi : Mn=P-110000,79n0000,30nP Et comme -1 [...]