4 exercices corrigés d'algèbre linéaire

Thèmes abordés

Algèbre linéaire, matrice, transformation inverse, polynôme, covariance, vecteur, discriminant

Résumé du document

"Notons nb_fr, nb_an et nb_al les nombres actuels de personnes parlant les trois langues et avec des ' les nombres estimés. On va regarder pour chaque langue les départs et les arrivées de personnes prévues. Tout d'abord, intéressons-nous aux francophones, 5% vont devenir anglophones, mais aussi 15% des anglophones et 50% des allophones vont arriver soit : nb_fr^'=nb_fr×0,95+nb_an×0,15+nb_al×0,05=6,78 millions."

Extraits

[...] Cherchons les vecteurs propres associés à la valeur propre 1 (il en existe une infinité). 0,70,30,20,20,40,20,10,30,6xyz=xyz soit -0,3x+0,3y+0,2z=00,2x-0,6y+0,2z=00,1x+0,3y-0,4z=0 on a donc la matrice augmentée -332-613 2020-40 que l'on peut échelonner. L3-->L1+L2+L3 soit -332- puis L1-->-L13 soit 1-12-600 -2/302000 puis L2-->L2-2L1 soit 1-10-400 -2/3010/3000 puis -L24 soit 1-10100 -2/30-5/6000 puis L1-->L1+L2 soit 100100 Si on fixe p3 alors on a comme solution p1=32p3=1,5p3p2=56p3≈0,83p3p3. Si on se fie au résultat précédent, c'est la conception, puis la production et enfin la gestion qui produisent le plus de travail du plus grand au plus petit. [...]

[...] Vérifions alors que C et D sont bien les images de et par la transormation inverse T-1. TA'=-12-541-32-12=-1x-12+2x-54-1x1+2x-32=-2-4=A TB'=-12-541-3212=1x-12+2x-541x1+2x-32=-3-2=B TC'=-12-541-32-1-2=-TB'=-B=C TD'=-12-541-321-2=-TA'=-A=D On retrouve bien les point de départ en appliquant la transformation inverse. On va calculer le polynôme caractéristique associé à la matrice T soit : T-λI=-3458-12-14-λ00λ=-34-λ58-12-14-λ Le déterminant de ce dernier est donc : T-λI=-34-λ58-12-14-λ=-34-λ-14-λ+12x58 T-λI=316+34λ+14λ+λ2+516=λ2+λ+0,5 Le discriminant de ce polynôme est donc : ∆=12-4x1x0,5=-1 [...]

[...] Ainsi, en notant xy un point de départ et un point d'arrivée, on a la relation x'y'=-3458-12-14xy. Par des propriétés de linéarité, on peut se contenter de calculer les images des coordonnées des sommets puis de relier ces derniers. Ainsi, calculons les points images et D'. A'=-3458-12-14-2-4=-2x-34-4x58-2x-12-4x-14=-12 B'=-3458-12-14-3-2=-3x-34-2x58-3x-12-2x-14=12 C'=-3458-12-1432=-B'=-1-2 D'=-3458-12-1424=-A'=1-2 Cela donne alors : Pour pouvoir vérifier cela il faut tout d'abord calculer l'inverse de la matrice T. Or on sait que cette matrice sera T-1=1detTComT T. On va donc tout d'abord calculer le déterminant soit : detT=-3458-12-14=-34x-14+12x58=12. [...]

[...] 4 exercices corrigés d'algèbre linéaire Question 1 : Notons nbfr, nban et nbal les nombres actuels de personnes parlant les trois langues et avec des ' les nombres estimés. On va regarder pour chaque langue les départs et les arrivées de personnes prévues. Tout d'abord intéressons nous aux francophones vont devenir anglophones, mais aussi 15% des anglophones et 50% des allophones vont arriver soit : nbfr'=nbfrx0,95+nbanx0,15+nbalx0,05=6,78 millions Pour ce qui est des autres cas, le raisonnement est complètement similaire et aboutit a : nban'=nbanx0,84+nbfrx0,05+nbalx0,20=1,313 millions nbal'=nbalx0,30+nbanx0,01=0,307 millions On peut vérifier que la somme fait bien 8,2 millions comme initialement. [...]

[...] Pour déterminer les composantes principales, il faut avant tout calculer les vecteurs et valeurs propres de la matrice de covariance. On va calculer le polynôme caractéristique. 97,8-57-5768,4-λ1001=97,8-λ-57-5768,4-λ puis en passant au déterminant 97,8-λ-57-5768,4-λ=97,8-λ68,4-λ-572=λ2-166,2λ+3440,52. On va résoudre pour plus de simplicité 10λ2-1662λ+34405,2 Le calcul du discriminant donne ∆=13860036 soit deux solutions réelles distinctes qui sont λ1=1662+3850120=110831+338501λ2=1662-3850120=110831-338501. Deux vecteurs propres associés sont 1,119049-385011,119049+38501. On peut alors normes ces deux vecteurs pour obtenir deux nouveaux vecteurs v1 et v2 qui sont les composantes principales. On trouve environ v1≈(0,79; -0,61)v2≈(0,61;0;79). [...]