3 exercices corrigés sur les suites mathématiques

Thèmes abordés

Suite arithmétique, suite géométrique, suite réelle, équation, fonction mathématiques

Résumé du document

Ce document comprend trois exercices corrigés de mathématiques sur les suites niveau licence.

Extraits

[...] On retrouve alors bien l'expression de l'énoncé pour tout n vn+2-vn+1=vn+1-vn. Montrons par récurrence double l'hypothèse de récurrence si un=2nvn vérifie la relation (alors on a vn+2-vn+1=vn+1-vn) est arithmétique de raion 1 et que vn=n. Initialisation : on a v1=1=0+1=v0+1 et v0=0 et v1=1. Récurrence : (pour supposons et et montrons P(n+1). On a d'après : vn+1-vn=vn-vn-1 et d'après et vn+1-vn=n-n-1=1 et de plus vn+1-n=1 soit vn+1=n+1. On a montré que pour tout n si un=2nvn vérifie la relation alors est arithmétique de raion 1 et vn=n. Posons un=k1x2n+k2x(nx2n). [...]

[...] un est une suite arithmétique de raison 700 et vn est une suite géométrique de raison 1,1. Pour simplifier on va faire partir un et vn du rang 0 ce qui donne un=u0 +nx700 et vn=v0x1,1n. On sait d'après le cours que la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique vaut : n+1u0+un2 ; et d'une suite géométrique vaut : v01-qn+11-q. On va donc calculer la somme des termes pour n allant de 0 à 5 (car on a décalé les indices) puis multiplier le tout par 12 (car sinon au sommerai juste un mois de chaque année). [...]

[...] Ainsi : x -infinity 5/3≈1,29 +infinity + - + g 5,30 +infinity -infinity -3,30 En particulier on a g0=1 et g1=-3 et la fonction est décroissante sur cet intervalle donc gx=0 admet une unique solution L sur I. Trouvons la solution de l'équation fx=x ce qui donne 15x3+1=x soit en multipliant par 5 x3+1=5x puis x3-5x+1=0. Comme L est l'unique solution de cette équation sur on en déduit que L est l'unique solution sur I de fx=x. On a f dérivable et f'x=35x2 or pour tout x dans on a x2≤x et en même x2≤1. [...]

[...] 3 exercices corrigés sur les suites mathématiques Problème 1 : Notons u1=v1=6000 Euro les prix initiaux des deux contrats au cours de la première année. Dans le premier contrat, on augmente chaque année le prix initial de 700Euro donc on peut trouver le loyer mensuel au cours de la nième année qui vaut : un=u1+(n-1)x700. En effet, on prend n-1 pour bien retrouver le montant initial lorsque n=1. Pour ce qui est du deuxième contrat, on augmente de 10% tous les ans (c'est-à-dire multiplier par 1,1). [...]

[...] On en déduit que 35x2≤35 et comme est positive sur on a sur I f'x≤35. On a vu dans la question précédente que f'x=35x2 ainsi, f est strictement croissante sur I. De plus f0=15 et f1=25 donc toutes les images de sont dans et l'intervalle est stable par f. Comme u0 est dans on en déduit que pour tout un est dans I. La fonction f est continue sur et dérivable sur donc a fortiori de même sur selon que un soit plus grand ou plus petit que L.Ainsi, d'après le théorème des accroissement finis, il existe c dans cet intervalle tel que : fun-fLun-L≤f'(c). [...]