Théorèmes des singularités de S. W. Hawking et R. Penrose

Résumé du document

Stephen Hawking a montré qu'une théorie géométrodynamique comme la Relativité générale comportait nécessairement des singularités, et que ces dernières étaient irréductibles (essentielles). L'existence d'un point, ou d'un anneau, de densité infinie, ne pouvant être observée, demeure au mieux hypothétique. La présentation est divisée en 3 parties autour des théorèmes de singularité de Hawking et Penrose : notions de singularité, éléments de géométrie, théorèmes eux mêmes.

Extraits

[...] Notions de singularité II. Notions de singularité Définition mathématique d'une singularité?? « Endroit » où la métrique a un comportement « pathologique ». Espace – temps = variété + métrique Métrique non définie sur la singularité  pas un endroit. Définition comme une limite de l'espace – temps puis éventuellement extension. A la main oui, pas en général (indépendamment des coordonnées) - Pas un endroit, mais comportement caractéristique à proximité? Divergence de Rab, ou de R ou de polynômes Pas de divergence? [...]

[...] Conclusion : λ n'existe pas. IV. Théorèmes Interprétation physique : univers globalement hyperbolique, en expansion partout à un instant, alors il a commencé il y a un temps fini en une singularité Deuxième théorème - Hawking 1967 : idem avec univers fermé à la place de globalement hyperbolique. Conclusion moins forte : il existe au moins une géodésique incomplète. - Démonstration mêmes idées, mais plus compliquée, car avec premier théorème, et en plus structures causales et hyperbolicité globale Troisième théorème Penrose 1965 : mêmes idées avec : espace globalement hyperbolique, géodésiques nulles (au moins une a une longueur finie), « trapped surface » (θ [...]

[...] Éléments de géométrie 2. Congruences de géodésiques, et conditions sur la matière Famille de courbes ne se croisant pas dans un ouvert de M  champ de vecteurs tangents . Congruence de géodésiques time-like orthogonale à ∑. - Expansion de la congruence : θ : rapport à aux autres géodésiques infinitésimalement proches. Équation de Raychaudhuri : Équation d'Einstein : Condition forte sur l'énergie : - Lemme important : Similaire avec géodésiques nulles : III. Éléments de géométrie 3. Points conjugués Définition approximative : . [...]

[...] Hawking and R. Penrose, The Singularities of Gravitational Collapse and Cosmology, Proc. Roy. Soc. Lond., A314, 529- S. W. Hawking and G. F. R. Ellis, The Large Scale Structure of Spacetime, Cambridge : Cambridge University Press R. M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press, 1984. [...]

[...] Théorèmes des singularités Premier théorème un espace-temps globalement hyperbolique avec condition forte en énergie vérifiée. ∑ hyper surface space-like. Congruence des géodésiques normales orientées vers le passé, avec θ l'expansion. On suppose que θ = C , et p un point au-delà. [...]