Le Paradoxe de Saint-Pétersbourg - Grand oral de mathématiques

Thèmes abordés

Le Paradoxe de Saint-Pétersbourg, Grand oral, Nicolas et Daniel Bernoulli, caclul de l'esperance mathématique, calcul des probabilités, théorie de la décision économique, espérance de gain, fonction logarithmique

Résumé du document

Du grec paradoxos, formé de para qui signifie contre et de doxa qui signifie opinion, un paradoxe est une proposition surprenante, allant contre le sens commun, qui contient une contradiction.
Le paradoxe présenté aujourd'hui est celui de Saint-Pétersbourg qui fut découvert par Nicolas Bernoulli en 1713. Ce dernier va en parler rapidement à un de ses amis qui va le faire parvenir jusqu'à Daniel Bernoulli, frère de Nicolas. Ce paradoxe va alors être un sujet de discussion entre les deux frères, qui sont des mathématiciens reconnus. Daniel, étant enseignant dans la ville de Saint-Pétersbourg, donnera ce nom au paradoxe.
Le paradoxe de Saint-Pétersbourg est lié aux probabilités ainsi qu'à la théorie de la décision en économie et requiert d'utiliser l'espérance mathématique et d'aller à l'encontre de ce qu'elle indique.

Extraits

[...] somme gagnée par A 2^n Probabilité 1/2 1/4 1/8 12n+1 On remarque que pour chaque lancer, on ajoute soit 50 centimes On applique la formule mathématique de l'espérance : E(gain)= ∑pi*xi= . = 1/2 car à chaque phase on augmente de Ici, le caclule de l'esperence est la somme des probabilités multipliés par les gains : Sommes pi*xi : * Il s'agit ici d'une somme infini car il est possible d'effectuer une infinité de pile même si cela est extrèmemement rare. [...]

[...] Voici le paradoxe : l'esperence ne traduit pas le « sentiment » du joueuer face à la mise de départ et, il peut paraitre rationnel de miser tout son argent, mais pas grand monde l'effectuera. Résolution du problème Ainsi, le gain moyen ne semble pas être traduit par l'espérence, de plus, dans la vie réelle, les casinos ou n'importe quel être humain , n'ont pas une infinité d'argent, ainsi, en limitant le capital maximal de les résultats vont changer : Par exemple, en fixant un nombre d'argent maximal à (ce qui est énorme) : casino avec au maximum 2^20 Euro Si le joueur fait 21 pile ou plus, il gagne 2^20, puisque le jeu s'arrête quand on fait face Ainsi, E(gain)= ∑pi*xi= . [...]

[...] Le paradoxe de Saint-Pétersbourg Contexte historique et définition Du grec Paradoxos, formé de para qui signifie contre et de doxa qui signifie opinion, un paradoxe est une proposition surprenante, allant contre le sens commun, qui contient une contradiction. Le paradoxe présenté aujourd'hui est celui de Saint-Pétersbourg qui fut découvert par Nicolas Bernoulli en 1713. Ce dernier va en parler rapidement à un de ses amis qui va le faire parvenir jusqu'à Daniel Bernoulli, frère de Nicolas. Ce paradoxe va alors être sujet un sujet de discussion entre les deux frères qui sont des mathématiciens reconnus. Daniel, étant enseignant dans la ville de Saint-Pétersbourg, donnera ce nom au paradoxe. [...]

[...] Lorsque A fait son premier face au n -ème coup, B lui donne Euro, A peut donc être assimilé au joueur et B à un casino. Ainsi, en faisant face au premier coup, on gagne 1Euro au deuxième au troisième . Le travail de recherche ici serait de trouver combien d'argent devons-nous miser ? Notre sens commun, nous incitant à miser moins de 10Euro, mais qu'en est-il des mathématiques ? Cherchons cette mise afin qu'elle soit rentable. [...]

[...] Le paradoxe de Saint-Pétersbourg est lié aux probabilités ainsi qu'à la théorie de la décision en économie et requiert d'utiliser l'espérance mathématiques et d'aller à l'encontre de ce qu'elle indique. Nous allons donc voir, pourquoi un jeu avec une espérance de gain infinie ne semble pas si avantageux pour le joueur ? Le paradoxe (énoncé et contradiction) On considère deux joueurs A et B. A lance une pièce (à l'époque un ducat) supposée équilibrée jusqu'à effectuer face. A chaque nouvelle partie, on double les gains. [...]