Comment les probabilités peuvent-elles aider à optimiser les chances de gagner au jeu de Monty Hall ?

Thèmes abordés

Grand oral, mathématiques, probabilités, Monty Hall

Résumé du document

Ce document propose un exemple de sujet de Grand Oral en Mathématiques intégralement rédigé.
L'avantage d'un sujet portant sur les probabilités réside dans sa double nature, à la fois simple à appréhender pour tous et offrant la possibilité aux élèves souhaitant approfondir d'explorer des concepts plus complexes avec aisance et clarté.

Extraits

[...] On sait que les événements sont incompatibles puisqu'il est impossible de trouver la voiture derrière la porte A tout en la trouvant derrière la porte B ou la C. écrire sur une feuille et à présenter NE PAS LE LIRE) Ces événements sont incompatibles, d'après la formule des probabilités totales P(OB) = P(OB ∩ + P(OB ∩ + P(OB ∩ P(OB) = PA(OB) * + PB(OB) * + PC(OB) * P(OB) = 1/2 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1 * 1/3 = 1/2 Ainsi, comme vous pouvez le voir la probabilité de OB est égale à 1/2 On peut donc revenir à ce que l'on cherche à calculer, à savoir la probabilité que la voiture se trouve derrière la porte numéro C sachant que Monty hall a ouvert la porte B POB(C)=P(C∩OB)P(OB)=PC(OB)*P(C)P(OB)=1x1312=23 En utilisant la formule de bayes nous avons le résultat suivant : 2/3 Ainsi, le candidat a tout intérêt à changer de porte pour maximiser ses chances de gagner. [...]

[...] Son but est de trouver la porte dissimulant la voiture. Le candidat commence par choisir une porte sans l'ouvrir disons la porte A. Ensuite, l'animateur Monty Hall, qui connaît l'emplacement de la voiture, ouvre l'une des deux portes restantes, disons la porte en veillant à ne pas révéler la voiture. La porte ouverte par l'animateur dévoile donc toujours une chèvre. À ce stade, le candidat a le choix entre conserver sa porte initiale, ou changer pour prendre la porte restante. [...]

[...] Notre but va donc être de calculer POB c'est-à-dire la probabilité que la voiture se trouve derrière la porte C sachant que Monty hall a ouvert la porte B. En effet, si le candidat change de porte il va nécessairement choisir la porte C puisqu'il avait choisi au départ la porte A et que le présentateur a ouvert la porte B. Au départ, on sait que la probabilité de A (la voiture se trouve derrière la porte est égale a la probabilité de B qui est égale a la probabilité de C qui est égal à 1/3. [...]

[...] Preuve en est ce problème est contre intuitif et peut tromper même les plus grands et comme le disait un mathématicien qui lui a répondu « nos cerveaux ne sont tout simplement pas câblés pour faire des probabilités ». gain moyens : Ici, tu peux utiliser l'espérance vue en première si la voiture nous fait gagner 100 000$ et la chèvre alors le gain moyen si l'on change de porte est de . Si tu as d'autres questions posent les à ton prof de maths, il sera là pour te répondre. [...]

[...] Que doit-il faire pour optimiser ses chances de gagner ? Conserver ou changer de porte ? C'est ici que les probabilités nous aide à répondre. À première vue, changer de portes n'optimise pas ses chances de gagner. Comparons tout de même les probabilités de gagner si on ne change jamais de porte avec la probabilité de gagner si on décide de changer systématiquement de porte. Si le candidat décide de ne pas changer de porte, sa probabilité de gagner est de 13 Mais, quelle est sa probabilité de gagner s'il change de porte - Est-elle 13 ? [...]