Quaternions : tipe mathématiques

Thèmes abordés

Quaternions : exposé + présentation + simulation Complexes, espace, rotation, octonions

Résumé du document

William Rowan Hamilton, mathématicien irlandais (1805-1866) a élaboré une théorie arithmétique des nombres complexes vers 1805. Celle-ci consiste à considérer ces nombres comme des couples de nombres réels et à définir, explicitement, la somme et le produit de tels couples par :

(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')
(a,b) * (a',b') = (aa'-bb',ab'+ba')


Les parties réelles sont identifiées aux couples (a,0), les parties imaginaires aux couples (0,b), et l'on a :

(a,b) = (a,0) + (0,b)=(a,0)*(1,0) + (b,0)*(0,1)


Il appelle le couple (1,0) l'unité primaire et le couple (0,1) l'unité secondaire et on peut alors identifier (a,b) avec , étant absurde dans la théorie des nombres simples mais prenant à présent tout son sens dans la théorie des couples. Hamilton a ainsi réussi à contourner l'obstacle que constituait l'écriture de la racine carrée d'un nombre négatif (entre autre celle de ).


Dès 1843, Hamilton essaya alors de définir des opérations d'addition et de multiplication, pour des triplets de nombres réels, de telle sorte que les opérations définies vérifient les mêmes propriétés que celles dans l'ensemble des nombres réels (associativité et commutativité des deux opérations, distributivité de la multiplication par rapport à l'addition).

En outre, il attacha une plus grande importance à l'interprétation géométrique de ce calcul algébrique dans l'espace tridimensionnel.


Cependant, après plusieurs années d'effort, Hamilton en conclu que ces nombres auraient quatre composantes (et non trois) et que l'on perdrait la commutativité pour la multiplication. Il appela alors ces nouveaux nombres hypercomplexes des quaternions.

Extraits

[...] Les quaternions, expansion des complexes. Origines, définition. Un corps non commutatif. Propriétés du conjugué. Les rotations des quaternions. Rotation dans l'espace. Produit de rotations. Utilisations des quaternions. Ouverture sur les octonions. HAMILTON William Rowan DEFINITION PROPRIETES + et * associatives * distributive par rapport à + + commutative * non commutative donc le corps des quaternions est non commutatif < number > CORPS NON COMMUTATIF avec les matrices: PROPRIETES DU CONJUGUE conjugué de Q ssi Q est imaginaire pur PLAN Les origines des complexes. [...]

[...] < number > ROTATIONS ROTATIONS quaternion unitaire: relation fondamentale: PRODUIT DE ROTATIONS deux rotations: méthode PRODUIT DE ROTATIONS deux rotations: méthode PRODUIT DE ROTATIONS UTILISATIONS attitude d 'un véhicule: AUTRES UTILISATIONS mathématique pure géométrie informatique robotique physique quantique mécanique classique et relativiste relativité générale électricité et magnétisme force de Lorentz et gravité équations de Maxwell fractales FRACTALE UTILISATIONS PLAN Les origines des complexes. Les quaternions, expansion des complexes. Origines, définition. Un corps non commutatif. Propriétés du conjugué. Les rotations des quaternions. Rotation dans l'espace. Produit de rotations. Utilisations des quaternions. Ouverture sur les octonions. [...]