Quaternions : exposé + présentation + simulation

Thèmes abordés

Quaternions : exposé + présentation + simulation Complexes, espace, rotation, octonions

Résumé du document

William Rowan Hamilton, mathématicien irlandais (1805-1866) a élaboré une théorie arithmétique des nombres complexes vers 1805. Celle-ci consiste à considérer ces nombres comme des couples de nombres réels et à définir, explicitement, la somme et le produit de tels couples par :

(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')
(a,b) * (a',b') = (aa'-bb',ab'+ba')


Les parties réelles sont identifiées aux couples (a,0), les parties imaginaires aux couples (0,b), et l'on a :

(a,b) = (a,0) + (0,b)=(a,0)*(1,0) + (b,0)*(0,1)


Il appelle le couple (1,0) l'unité primaire et le couple (0,1) l'unité secondaire et on peut alors identifier (a,b) avec , étant absurde dans la théorie des nombres simples mais prenant à présent tout son sens dans la théorie des couples. Hamilton a ainsi réussi à contourner l'obstacle que constituait l'écriture de la racine carrée d'un nombre négatif (entre autre celle de ).


Dès 1843, Hamilton essaya alors de définir des opérations d'addition et de multiplication, pour des triplets de nombres réels, de telle sorte que les opérations définies vérifient les mêmes propriétés que celles dans l'ensemble des nombres réels (associativité et commutativité des deux opérations, distributivité de la multiplication par rapport à l'addition).

En outre, il attacha une plus grande importance à l'interprétation géométrique de ce calcul algébrique dans l'espace tridimensionnel.


Cependant, après plusieurs années d'effort, Hamilton en conclu que ces nombres auraient quatre composantes (et non trois) et que l'on perdrait la commutativité pour la multiplication. Il appela alors ces nouveaux nombres hypercomplexes des quaternions.

Extraits

[...] Le symbole i : S = m + n = + + Avec x compris entre 0 et 5. P = m n = + = 40 = -15 = *15. Appelons i le symbole tel que = -1. Ainsi, x = * i. Il serait alors fort simple, par cette commodité d'écriture, de vérifier que m + n = 10 et que m * n = 40 : les imaginaires sont nés. Les quaternions, expansion des complexes. Origines, définition. [...]

[...] Pour démontrer alors que les quaternions forment un corps non commutatif, il suffit simplement de reprendre le contre-exemple de la partie précédente qui montre que la multiplication n'est pas commutative. Les quaternions, expansion des complexes. Propriétés du conjugué. De plus, les quaternions vérifient les propriétés suivantes : appelé le conjugué de avec avec et inverses l'un de l'autre. si et seulement si est un quaternion imaginaire pur. où est le conjugué de . Les rotations des quaternions. Rotation dans l'espace. Dans l'espace à trois dimensions, une rotation autour d'un point O peut-être définie par : _un axe passant par portant un vecteur unitaire . [...]

[...] Remarque : En passant par le quaternion conjugué et par le module, nous pouvons déterminer le quaternion symétrique. Soient h = et le quaternion conjugué de h : = Soit p le module de h tel que p = h et que = Ainsi, si h = ) / = 1. Par conséquent, h ( / = 1 et on a ainsi démontré que est le quaternion symétrique de h. Ce groupe est-il commutatif?: = * = . Le corps n'est pas commutatif car la partie imaginaire est différente. [...]

[...] Ce fut la première algèbre non-commutative de dimension finie étudiée et assimilée comme généralisation des complexes car Hamilton fut amené à dégager le fait qu'on peut définir une structure d'algèbre sur un espace vectoriel de dimension finie en donnant la table de multiplication des éléments d'une base. Ce corps, dont C et R sont deux sous-corps, est noté H (du nom de son inventeur). C'est le seul corps non-commutatif de dimension finie sur le corps des nombres réels. HAMILTON William Rowan irlandais, 1805-1865 Les quaternions, expansion des complexes. [...]

[...] N1 TIPE Maths Mounié Guillaume Pennel Richard Les quaternions. Les origines des complexes. Les quaternions, expansion des complexes. Origines, définition. Un corps non commutatif. Propriétés du conjugué. Les rotations des quaternions. Rotation dans l'espace. Produit de rotations. Utilisation des quaternions. Ouverture sur les octonions. [...]