Méthode sans Maillage (Meshless), les Fonctions Radiales de Base (RBF)

Résumé du document

Dans ce travail on présente la méthode dite sans maillage (Meshless) basée sur l'introduction des fonctions radiales de base (RBF Radial Basic Functions).
Contrairement, aux méthodes classiques : la méthode des éléments finis (MEF), la méthode des volumes finis (MVF), la méthode des différences finies (MDF)…, cette méthode évite la plus délicate étape pour mettre en œuvre une méthode numérique, à savoir la réalisation du maillage du domaine surtout quand il s'agit d'une géométrie, complexe et quand on travaille en 2D et 3D.
Cette méthode a été introduite en 1990 par Edward J. Kansa pour la résolution des équations aux dérivées partielles et des équations différentielles ordinaires.
Au cours de ce travail, nous essayons de faire une étude bibliographique détaillée de cette méthode, ainsi nous introduisons son concept à travers plusieurs exemples académiques.

Extraits

[...] Kansa (1990) a modifié le MQ avec succès pour résoudre des équations aux dérivées partielles (EDP) de types elliptiques, paraboliques, et hyperboliques. Hon et all (1997) ont prolongé la méthode MQ pour résoudre une variété de problèmes aux limites non linéaires incluant l'équation de Burgers avec onde de '' [23-b]. Cependant, l'exécution de ce RBF_ MQ dépend du choix d'un paramètre libre c personnalisé. Le choix de la valeur de ce paramètre reste aléatoire et beaucoup de recherches de tests se sont effectués et sont en cours. [...]

[...] Par conséquent, leurs exécutions numériques prouvent que les cas de la singularité sont rares. Ils prennent plus de 7000 échantillons aléatoires pour trouver un contre-exemple. L'existence des contre-exemples singularités ne rejette pas l'importance des méthodes des collocations des RBF RBF –EDPs Fonction radiale de base pour la solution d'équations aux dérivées partielles RBF-EDP est la fonction radiale de base pour résoudre les EDP. C'est une méthode de collocation sans maillage (meshless) avec des fonctions de base globales. On la reconnaît par la convergence de l'exponentiel dans des problèmes d'interpolation. [...]

[...] Mouat, “Fast Fitting of Radial Basis Functions: Methods Based on Preconditioned GMRES Iteration”, Adv. Comput.Math 253-270, (1999). Yiu-Chung Hon, Xian-Zhong Mao, RADIAL BASIS FUNCTION METHOD FOR SOLVING OPTIONS PRICING MODEL”. http://citeseer.ist.psu.edu/324314.html A.H-D.Cheng M.A.Golberg E.J.Kansa G.Zammito,“ Exponential Convergence and H-C. Multiquadric Collocation. Method for Partial Differential Equation”. Numerical Method for partial differential interscience volume 19- Issues 5,pages 571-594 27apr 2003 [4]C.S. Chen department of Mathematical Sciences University of Nevada, Las Vegas U.S.A. “Meshless Methods for Scientific” Computation reduction involved for the meshing (2006). [...]

[...] Hickernell, and Y. C. Hon, Radial Basis Function Approximation of the Surface Wind Field from Scattered Data, Internat. J. Appl. Sci. Comput., 4,221-247, (1998) Y. C. Hon, and X. [...]

[...] Lorsque c devient plus grand, la forme devient plate et peu sensible à la différence des distances radiales ; ainsi la matrice devient plus mal –conditionnée. En plus, nous trouvons un curieux résultat quand la solution devient plus précise jusqu'à ce qu'elle atteigne la panne point provoqué par l'erreur d'approximation de machine [Kansa et Hon, 200]. c pour RBF gaussien Un comportement semblable existe pour la méthode RBF gaussienne (RBF- GS) , dans lequel la forme de la fonction gaussienne est aussi contrôlée par un paramètre c Comparaison MEF et RBF La méthode des éléments finis est fortement flexible, mais il est difficile de réaliser une précision d'ordre élevé, le codage et la génération du maillage deviennent de plus en plus difficile quand le nombre de dimension de l'espace augmente Les fonctions radiales de base (RBFs) offrent une approche assez nouvelle pour résoudre EDPs, c'est la méthode RBF qui dépend seulement des distances d'un point central et de la forme À la différence du qui est basée sur le raccord de l'ensemble des éléments du domaine d'étude avec les polynômes interpolant de base et de degré local, les fonctions globales RBF prolongent leur influence au domaine entier, sans division des éléments. [...]