La méthode formelle de collocation à base d’ondelettes pour la résolution d'une équation aux dérivées partielles

Résumé du document

Les problèmes rencontrés dans différentes disciplines (physique, médecine, biologie et dans un large champ scientifique) sont régis par des équations différentielles. Ces équations ; elles seules ne suffisent pas pour déterminer complètement la solution du problème. Pour que le problème soit bien posé, il faut posséder d'autres données qui dépendent de la nature du problème. Ces données représentent le domaine de définition et les conditions aux limites.
Généralement, on travaille sur des domaines fermés. Quant aux conditions, il existe plusieurs types, les plus simples sont connues comme étant les conditions aux limites de Dirichlet.
Lorsque les valeurs des dérivées (premières) aux limites sont les données du problème, on parle de conditions aux limites de type Neumann. Lorsqu'on a des conditions sur la solution et sa dérivée, on parle de conditions mixtes ou mêlées. La difficulté ne se pose pas pour un problème régi par une seule équation différentielle surtout si celle-ci est linéaire. Mais la plupart des problèmes réels sont régis par des systèmes d'équations diffeérentielles. La difficulté réside dans les systèmes couplés et non linéaires. On a déjà abordé ce sujet dans un rapport de licence où l'on a utilisé la technique de découplage qui sert à découpler et linéariser ces systèmes d'équations. Ici, on se contentera d'un problème à une seule équation.

Extraits

[...] On impose donc une grille de valeurs discrètes pour s et u. On pose : s = sj et u = nu0 sj avec s0 ; u La transformée en ondelette discrète est donnée par : W f = s0 j Comme on a : b = autrement dit est un ltre passe-bande ce qui implique que est de moyenne nulle, elle doit osciller, donc est une onde. Z 1 f s0 j t nu0 dt: Si on choisit s0 = 2 et u0 = on parle de transformée en ondelette dyadique, on a alors : W f = j 2 Z 1 f 2 jt n dt: Voir Annexe.A LES ONDELETTES 17 Remarque 1.5 L' échelle est échantillonnée sur une suite dyadique j )j2Z pour simpli er l' implémentation. [...]

[...] L' inconvénient réside dans le calcul des intégrales sur le domaine (le nombre d' intégrales est égal à n + 1 où n est le nombre de points de collocation intérieurs). La méthode de Galerkine est connue comme étant la meilleure méthode des résidus pondérés et la plus précise par rapport aux résultats qu' fournit. Elle est aussi la méthode elle la plus compliquée à réaliser. Dans un travail déjà e¤ectué en licence, on a développé la méthode de collocation par points en une dimension, et en choisissant comme points de collocation les racines du polynôme de Jacobi, la méthode a fourni des résultats aussi bons que ceux de Galerkine. [...]

[...] Nos recherches, nous ont permis de trouver une alternative, qui reste néanmoins formelle, et qui utilise des représentations non-standard d' opérateurs di¤érentiels dans une base d' ondelettes et construit les matrices correspondante à la représentation de ces opérateurs. De l' énormité des calculs, comme perspective, on souhaite pouvoir implémenter cette dernière approche à notre méthode a n d' obtenir cette stabilité tant convoité Annexes Annexe A. Dé nitions Transformée de Fourier On appelle transformée de Fourier de f la fonction b f = R 1 f exp( i!t)dt; f 2 L1 : Produit de convolution b La fonction f peut être vue comme le spectre en fréquences de la fonction f . [...]

[...] La représentation des opérateurs dans une base d' ondelettes monodimentionnelle à support compact est similaire à la construction de leurs matrices correspondantes. On va donner une représentation non-standard des opérateurs di¤érentiels linéaires dans une base d' ondelettes bidimentionnelle à support compact. On a déjà vu dans le premier chapitre la notion d' analyse multirésolution et la construction de bases d' ondelettes en 2D. Considérons une AMR : Vj Vj+1 j 2 à support dans L p L 1 P 2 gk (2x k=0 avec une fonction d' échelle ' et une ondelette les deux équations : ' = p L 1 P 2 hk ' (2x k=0 qui véri ent ; = ; où : hk est le ltre passe-bas et gk le ltre passe-haut Voir chapitre.1 section sous-section .4(construction de base d' ondelette en 2D) Rappelons que les bases d' ondelette en 2D s' appuient sur une AMR séparable en 2D2 : j n1 ;n2 ; n1 ; n2 2Z ; n1 ;n2 ; n1 ; n = d : Une fonction f 2 L2 (R2 ) est approximée par sa projection orthogonale sur l' espace Vn = Vn Vn comme suit : P n fn = Pn f = sn1 ;n2 n1 ;n2 ; où sn1 ;n2 = n1 ;n2 ; n n n n1 ;n2 et les bases d' ondelettes sont représentées par les séries : P P P dn1 ;n2 j;1 ;n2 ; où dj;1 ;n2 = n n j2Z =h;v;dn1 ;n2 n1 ;n2 : Choisissant Vn et Vn J comme étant le plus n et le plus grossier sous-espace, respectivement, et utilisant Vj = Vj 1 Wj on a : Vn = Vn J Wn J Wn J+1 Wn 1 : Alors fn 2 Vn peut être étendu comme suit : fn = Pn Ici, Pn Jf Jf + j=n J n 1 P Qj où Qj f = n1 ;n2 J P P dj;1 ;n2 n n1 ;n2 : est la plus grossière approximation sur Vn et les projections Wjv Wjd h Qj = Qj + Qv + Qd sur Wj = Wjh j j donnent les détails Qj f sur Wj construites par l' approximation la plus ne, fn , de f sur Vn . [...]

[...] Notre travail porte sur la méthode des résidus pondérés de Crandall, en particulier la méthode de collocation par points en choisissant comme points de collocation les racines du polynôme de Jacobi, c' ce qu' appelle la collocation orthogonale (de Villadsen). est on A laquelle, on tentera d' introduire la notion de base d' ondelettes. En fait, l' idée d' utiliser des bases d' ondelettes dans l' analyse numérique (résolution des équations elliptiques, aux dérivées partielles, intégrales) s' imposée depuis que ces bases ont fait la preuve de leur est 6 TABLE DES MATIÈRES 7 cacité dans le traitement du signal. Après la découverte par Y. [...]