La méthode des différences finies pour les EDP (electronic data processing)

Thèmes abordés

Résolution numéeique d'équation aux dérivées partielles, méthode des différence finies, matlab, équation de poisson

Résumé du document

Dans le domaine de l'analyse numérique, on peut être amené à rechercher la solution d'une équation aux dérivées partielles. Parmi les méthodes de résolutions couramment pratiquées, la méthode des différences finies est la plus facile d'accès, puisqu'elle repose sur deux notions : la discrétisation des opérateurs de dérivation/différentiation (assez intuitive) par différences finies d'une part, et la convergence du schéma numérique ainsi obtenu d'autre part.
De nombreux problèmes physiques peuvent se ramener à la recherche d'un champ scalaire- (un champ scalaire est un nombre qui prend différentes valeurs en différents points de l'espace. Par exemple l'intensité lumineuse d'un écran d'ordinateur est un champ scalaire fonction de la position de chaque pixel). - que nous appellerons Potentiel et que nous noterons Ø(x,y) - vérifiant l'équation aux dérivées partielles suivante :
-ΔØ = f(x)
Il s'agit de l'équation de poisson. En analyse vectorielle, l'équation de Poisson est l'équation différentielle partielle suivante: , ou bien :c'est-à-dire qu'elle met le laplacien appliqué à égal à f.

Extraits

[...] Pour résoudre le système linéaire, on utilisera une méthode itérative de type gradient conjugué. II-Réalisation : 1.a) La réalisation du problème approché et du problème aux limites correspondant à une approximation différence finie centrée à 5 points pour calculer le potentiel électrique dans une boite infiniment longue isolée électriquement et que sa partie supérieure est portée à 100 v : Soit : Avec : Ω 0,Lx[X] Ly [ Ø Є Ο²(Ω). On a Avec : : la longueur de la boite suivant x. [...]

[...] Les bords de Ω que nous noterons imposent des contraintes : On parle de conditions aux limites. On distingue généralement, deux types de conditions aux limites : -conditions de Dirichlet. -conditions de Von Neumann. Par la suite, nous nous limitons au problème de Dirichlet. I - Cahier de charge : Description du problème : Soit : Avec : On a Avec : : la longueur de la boite suivant x. : la largeur de la boite suivant y. [...]

[...] Par exemple l'intensité lumineuse d'un écran d'ordinateur est un champ scalaire fonction de la position de chaque pixel). - que nous appellerons Potentiel et que nous noterons - vérifiant l'équation aux dérivées partielles suivante : -ΔØ = Il s'agit de l'équation de poisson en analyse vectorielle, l'équation de Poisson est l'équation différentielle partielle suivante: , Ou bien :c'est-à-dire qu'elle met le laplacien appliqué à égal à f. Trouver pour un f donné est un problème pratique important en électrostatique, puisque c'est la méthode habituelle pour trouver le potentiel électrique pour une distribution de charges donnée : Dans notre cas on cherche le potentiel dans une zone de l'espace que nous appellerons Ω. [...]

[...] ET = - + Ο(hx^4) + Ο(hy^4) Pour hx=hy et 1/5,1/10,1/ ET 0 Le calcule et la visualisation du potentiel électrique dans Ω suivant les conditions aux bords suivants : = Puis = Ou Pour le Programme MATLAB calculant le potentiel électrique dans la boite . [...]

[...] Présentation des conditions aux limites qui régit le problème : Le problème étant posé dans un domaine non borné, on introduit une frontière artificielle pour borner le domaine de calcul. Le potentiel électrique décroissant de manière rapide à l'extérieur du condensateur, on impose une condition de Dirichlet homogène comme conditions aux limites sur la frontière artificielle. Travail demandé: Partie 1 Écrire le problème aux limites et le problème approché correspondant à une approximation différences finie centrée à 5points. Écrire un programme MATLAB calculant le potentiel électrique dans la boite. Visualiser les lignes de potentiel dans la boite. [...]