Equation de la chaleur discrète: comparaisons avec le cas classique

Résumé du document

Le propos de ce mémoire sera dans un premier temps d'étudier l'équation de la chaleur dans un contexte particulier, puisqu'il s'agira de la résoudre dans le cas discret. La justification d'une telle démarche n'est pas que purement théorique: si nous avions à étudier cette équation dans un modèle physique, nous serions probablement astreints de le faire via un ensemble discret de mesures de températures. Aussi, le recours à ce mode se trouve ici être plus proche de la réalité que le cas continu habituel. Nous y reviendrons.
Puis, forts des solutions pour ce problème, aussi bien sur la droite que sur le cercle, dans le cas discret comme dans le cas continu, cas pour lequel nous aurons rappelé les résultats essentiels, nous nous efforcerons de tisser des liens entre ces diverses solutions, en exhibant les analogies et les convergences qui les unissent. Ces comparaisons seront effectuées à l'avant-dernier chapitre. Nous terminerons enfin par quelques exemples pratiques
d'applications de la théorie discrète que nous aurons développée.
Suite à divers rappels plus ou moins triviaux selon le niveau de connaissances du lecteur, nous commencerons donc par définir les transformées de Fourier dans un cadre discret, puis établirons, toujours dans ce cadre, la solution du système lié à l'équation de la chaleur. C'est le programme qui nous attend lors des premiers chapitres. Au niveau bibliographique, nous
nous sommes essentiellement basés sur le livre de A. Terras [1999], mais d'autres lectures peuvent également apporter quelques éclaircissements selon les passages. La liste de toutes les références se situe naturellement à la fin de ce mémoire.

Extraits

[...] Convolutions . Transform´es de Fourier r´elles . e e Equation de la chaleur r´elle . e Propri´t´s des transform´es de Fourier sur L1 (Rm ) . ee e Equation de la chaleur sur une barre de longueur infinie 6 Equation de la chaleur discr`te e Laplacien combinatoire Noyau sur Z/nZ Noyau sur Z Comparaison entre cas continu et cas discret 7.1 Cadres r´els et continus : similitudes diverses . e 7.2 Solutions de l'´quation de la chaleur . [...]

[...] e Le cas continu Le cas discret Comparaisons entre toutes les solutions Consid´rations g´n´rales . e e e Noyaux sur le cercle et sur la droite Convergences du noyau discret vers le noyau continu 7.4 Conclusions Applications des DF T Centro¨ d'un polygone ıde 8.2 Aire d'un polygone Chapitre 1 Notions de base Dans tout travail de ce genre, il est n´cessaire de fixer la limite entre e ce qui est acquis et ce qui se doit d'ˆtre rappel´. Cette limite ´tant par e e e d´finition arbitraire, nous avons pour notre part fait le choix de prendre e comme lecteur lambda quelqu'un qui aurait suivi une formation de base en math´matiques, incluant notamment un cours d'introduction ` l'alg`bre. [...]

[...] e e 2.5 Spectres Transform´es de Fourier discr`tes e e 3.1 Espace de Hilbert L2 Produit de convolution discret Propri´t´s des DFT . ee 4 Quelques exemples de DFT 4.1 f1 = f2 = ea et f3 = δa 4.3 f4 = 1 (δ1 + ) f5 = 1 (δ1 + δ0 + ) f6 = 1 (δ0 + δ1 ) f7 = x et f8 = x de taille . (DFT) 5 Equation de la chaleur classique Fonction de Dirac et distributions Premi`re approche des distributions e Seconde approche des distributions . [...]

[...] e Permettez-nous donc de vous souhaiter une agr´able lecture, en esp´rant e e que vous ´prouverez du plaisir et de l'int´rˆt ` vous plonger dans cet univers ! e ee a ”[about Fourier] It was, no doubt, partially because of his very disregard for rigor that he was able to take conceptual steps which were inherently impossible to men of more critical genius.” Langer, Rudoph E., in P. Davis and R. Hersh : The Mathematical Experience, Boston Table des mati`res e 1 Notions de base 1.1 Th´or`me chinois . [...]

[...] a Le propos de ce m´moire sera dans un premier temps d'´tudier l'´quation e e e de la chaleur dans un contexte particulier, puisqu'il s'agira de la r´soudre e dans le cas discret. La justification d'une telle d´marche n'est pas que pue rement th´orique : si nous avions ` ´tudier cette ´quation dans un mod`le e ae e e physique, nous serions probablement astreints de le faire via un ensemble discret de mesures de temp´ratures. Aussi, le recours ` ce mode se trouve ici e a ˆtre plus proche de la r´alit´ que le cas continu habituel. Nous y reviendrons. [...]