Vecteurs, Vecteurs Aléatoires, Vecteurs gaussiens

Résumé du document

Vecteurs, Vecteurs Aléatoires, Vecteurs gaussiens :

1 Introduction

2 Algèbre linéaire

3 Vecteurs alé?atoires

4 Vecteurs gaussiens

Extraits

[...] La matrice de variance-covariance Σ de X est d´finie par e e Σ E EX) EX) Sur la diagonale, on retrouve les variances des coordonn´es Σi,i = Var(Xi C'est une matrice sym´trique e e et Σi,j = Σj,i = Cov(Xi , Xj ) Vecteurs gaussiens D´finition et fonction caract´ristique e e D´finition e D´finition 11. Un vecteur al´atoire X est gaussien si toute combinaison lin´aire de ses composantes t X e e e suit une loi normale. Le th´or`me de Cramer-Wold permet d'´tablir que la loi de X est ainsi parfaitement d´termin´e. [...]

[...] Ind´pendance e On peut utiliser les fonctions caract´risques pour regarder l'ind´pendance des coordonn´es e e e Th´ror`me 13. Les composantes d'un vecteur gaussien sont ind´pendantes si et seulement si la matrice de e e e variance Σ de X est diagonale, c'est-`-dire si et seulement si les coordonn´es sont non-correl´es. a e e ATTENTION Cela ne veut pas dire que si deux variables al´atoires quelconque sont gaussiennes, elle e sont ind´pendantes si elles sont non-correl´es. e e 4.2 Densit´ e 2.2 Densit´ e Soit X un vecteur al´atoire gaussien de dimension d. [...]

[...] ϕ(x) = Ax Vecteurs al´atoires e Densit´ e Densit´ e D´finition 3. La densit´ f : Rd R (par rapport ` la mesure de Lebesgue) du vecteur X = Xd e e a si elle existe, est la fonction qui v´rifie, pour tout bor´lien B de Rd , e e P(X = B f ud )du dud Changement de variable dans une densit´ e Soit Φ : Rd Rd une bijection admetant des d´riv´es partielles selon toutes les coordonn´es. e e e On note Φ la d´riv´e partielle de Φ selon la i-`me coordonn´e. [...]

[...] Dans ce cas, e e e elle vaut exp t µ)Σ−1 µ) , f ud ) = d/2 det Σ 2 (2π) µ u Centrage et r´duction d'un vecteur gaussien e Si X est un vecteur gaussien de moyenne µ et de variance Σ inversible, alors Y = µ) est un vecteur gaussien dont les composantes sont ind´pendantes, de loi N 1). e La matrice de variance Σ d'un vecteur gaussien est toujours sym´trique positive. e Elle admet donc une unique matrice sym´trique racine carr´e : il existe une unique matrice M e e sym´trique telle que M 2 = Σ. e On note cette unique matrice Σ1/ De plus, si Σ est inversible, M aussi. [...]

[...] L'addition est commutative alors que la multiplication ne l'est e pas. C'est-`-dire a + + C = A + + C(A + = CA + CB, A + B = B + (AB)C = A(BC) + B)C = AC + BC λ(A + = λA + λB Mais A B = B A (condition sur les dim. pour que les deux produits soient d´finis e Matrice tranpos´e e Si A est une matrice de taille m sa matrice transpos´e, not´e A est la matrice de taille n m e e u = aj,i . [...]