Variables aléatoires réelles & fonctions & Systèmes 2

Résumé du document

Devoirs de prépa HEC (voie économique) sur les Variables aléatoires réelles & fonctions & Systèmes

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Extraits

[...] Calculer p p2 et p Pour tout n , d´montrer que pn+1 = e pn + En d´duire la valeur de pn pour tout n . e 4. En d´duire que la suite (pn ) converge et d´terminer sa limite. e e Exercice 2 Soit f : x ln(e2x + ex V´rifier que Df e 2. f est-elle prolongeable par continuit´ en 0 ? e 3. Etudier les variations de f Montrer que, pour tout x > f = 2x + ln(1 + 2e−2x ) et en d´duire l'existence d'une asymptote e oblique ` Cf au voisinage de a 5. [...]

[...] Adjoindre ` la repr´sentation graphique de f celle de f a e 8. Justifier que pour tout entier naturel il existe un unique r´el xk positif tel que : e f (xk ) = k. Donner la valeur de x Placer les r´els x1 et x2 sur le graphique pr´c´dent. e e e Utiliser le tableau de valeurs de f pour d´terminer un encadrement de x1 et de x e Exprimer xk ` l'aide de f puis justifier que la suite (xk ) est croissante et d´terminer sa limite a e lorsque k tend vers l'infini On d´finit la suite (un ) par : e 3 u0 = 2 un+1 = φ(un ) Etudier les variations de φ sur . [...]

[...] D´terminer f pour tout y Df e Exercice 3 R´soudre les deux syst`mes suivants (en fonction du param`tre r´el λ pour le deuxi`me) e e e e e = 1 x +3y λ)x 2x +2y +3t = 0 λ)y +2z : ) : x +2t = 2x λ)z = 0 x +7y = Probl`me 1 Inspir´ de Ecricome 2005 e e On consid`re la fonction f d´finie par : e e , f = x2 x ln x 1 f = le tableau de valeurs de f : x f ainsi que la fonction φ d´finie par : e , φ(x) = 2 + ln x. x 0,5 - Montrer que f est continue sur Etudier la d´rivabilit´ de la fonction f en 0. En donner une interpr´tation graphique. e e e 3. Etudier la convexit´ de f sur R , puis dresser son tableau de variations en pr´cisant la limite de f e e lorsque x tend vers l'infini Etudier la nature de la branche infinie et donner l'allure de la courbe repr´sentative de f. e 5. [...]

[...] Dupont mange soit ` la cantine de son entreprise soit au restaurant. a On suppose que si au jour M. Dupont mange au restaurant alors, au jour J + il a trois chances sur quatre de manger ` la cantine. a D'autre part, si au jour M. Dupont mange ` la cantine, alors, au jour J + il a deux chances sur trois de a manger ` la cantine. a Au premier jour (jour M. Dupont mange au restaurant. e Soit n . [...]