Triangles rectangles et cercles (4ème/3ème/concours catégorie C)

Résumé du document

Cours de mathématiques de niveau quatrième et troisième sur les triangles rectangles et les cercles accompagné de nombreuses illustrations. Caractérisation d'un triangle rectangle par son inscription dans un demi-cercle. Utile aux collégiens et à ceux qui préparent les concours administratifs catégorie C.

Extraits

[...] Réciproque : Propriété réciproque : Si le milieu d'un côté d'un triangle est le centre du cercle circonscrit, alors ce triangle est rectangle et ce côté est l'hypoténuse Caractérisation des points d'un cercle : Activité préparatoire : Penser à la première activité, à adapter. Propriété : Exprimer la propriété suivante sans utiliser le mot triangle : Dans un triangle ABC, si le centre O du cercle circonscrit est le milieu du côté alors ce triangle est rectangle en A. Si un point A appartient au cercle de diamètre alors l'angle BAC est droit. Propriété : Si un point distinct de B et appartient au cercle de diamètre alors l'angle BAC est droit. [...]

[...] ABDC est un rectangle, on a donc : IA = IB = ID = IC, le point I est donc le centre du cercle passant par C et c'est donc le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Activité Quel bilan peut-on faire de cette activité ? Propriété : Si un triangle est rectangle, alors le milieu de l'hypoténuse est le centre du cercle circonscrit. Exemple : faire tracer un triangle rectangle, que peut-on dire du milieu de l'hypoténuse. Autre formulation de la propriété : Si un triangle est rectangle, alors il est inscrit dans un demi-cercle. Etudions la propriété réciproque ! Tracer un segment [MN]. Placer le milieu O de ce segment. [...]

[...] BAC est un angle du triangle rectangle MCA, donc il est aigu : BAC Second cas : Quel bilan peut-on faire de cet exercice ? Propriété réciproque : Si un angle BAC est droit, alors le point A appartient au cercle de diamètre [BC]. [...]

[...] Triangles rectangles et cercles 1. Caractérisation d'un triangle rectangle : Introduction, rappels : Rappeler la définition d'une médiane d'un triangle, du cercle circonscrit d'un triangle. Activité préparatoire Construire un triangle ABC rectangle en A. Placer le milieu I du côté [BC]. Construire la médiane relative à l'hypoténuse. Construire le point D symétrique du point A par rapport au point I. Coder la figure ! Que peut-on dire du quadrilatère ABDC ? Il semble que ABDC est un rectangle ! Prouver que le quadrilatère ABDC est un rectangle. [...]