Théorie des groupes

Résumé du document

Ce document est un cours de théorie des groupes de niveau Bac+3 à Bac+4. Les thèmes suivants sont abordés : produits directs et semi-directs, groupes quotients, actions de groupes, théorèmes de Sylow, présentation de groupes par générateurs et relations.

Extraits

[...] e Soient G G2 deux groupes. Un morphisme de groupes est une application de G1 G2 v´rifiant : e y G f = f On a alors : f = 1. On appelle noyau l'ensemble G1 f = : c'est un sous-groupe de G f est injective ssi ker f = D´finition. e H G est un sous-groupe de G si la loi restreinte ` H permet de munir H d'une structure de groupe. a Autre d´finition : Un sous-groupe de G est la donn´e d'un couple H est un groupe et i : H G e e u est un morphisme injectif de groupes. [...]

[...] Gn = Gi Gi+ Gi+1 /Gi ab´lien. e 5 Actions de groupes 5.1 D´finition. e On appelle action ` gauche d'un groupe G sur un ensemble X la donn´e de : a e Φ : G X v´rifiant : e 1. 1.x = x g (gg ).x = g.(g .x) X g.x Exemples SX (groupe des permutations de agit sur X G agit sur lui-mˆme par translations ` gauche (g.x = ou par conjugaison (g.x = gxg e a 3. [...]

[...] e Le centre d'un groupe G est le sous-groupe distingu´ de G : e = G gh = hg} . Corollaire. Le centre d'un p-groupe est non trivial. Tout groupe d'ordre p2 p est premier est ab´lien. u e Les p-groupes sont r´solubles. e 7 Produits semi-directs 7.1 D´finition. e Soit G un groupe, H et K deux sous-groupes. On dit que G est produit semi-direct interne de H par K si H H K = et HK = G D´finition. [...]

[...] e Soit f : G G un morphisme de groupes. On dit qu'un morphisme r : G G est une r´traction de f si r f = IdG . (alors f est injective). e On dit que s : G G est une section de f si f s = IdG (alors f est surjective) Th´or`me. e e Soit une suite courte exacte : i 5 π / Alors : 1. π admet une section s ssi il existe Φ : K Aut et un isomorphisme Ψ : G H que le diagramme suivant commute : G II II IIψ II II $ / Φ H 2. [...]

[...] F est libre sur X tout ´l´ment de F s'´crit de fa¸on unique sous la forme d'un produit : ee e c xε1 xεk k x xk i+1 ε εk et xεi xi+1 = i ε 3. X X = X engendre F et : xk εk i+1 xεi xi+1 = xε1 xεk = i k ε 10 Pr´sentation des groupes e 10.1 Proposition. Tout groupe est quotient d'un groupe libre. Tout groupe de type fini est quotient d'un groupe libre de rang fini. Soit G un groupe, R G. [...]