Le théorème central limite - synthèse etfrançaisess

Résumé du document

Cette fiche de révision propose une synthèse de cours suivie d'exercices corrigés sur le thème régimes,rème central limite. Extraits du document : "Le théorème central limite porte divers noms : théorème de la limite centrée par exemple. Il exprime un résultat mathématique justifiant les pratiques de la statistique. Nous l'énoncerons sans démonstration. Soit une suite X1, X2, ...., Xn de variables aléatoires indépendantes et de même loi de probabilité f(m,s) et on pose An = (X1+X2+...+Xn) / n qui représente la moyenne arithmétique des variables..."

"Donnons une forme pratique du théorème central limdocument nière à pouvoir l'utiliser dans la problématique de l'échantillonnage qui consiste à choisir le nombre n. D'après le théorème central limite, quelle que soit la loi de probabilité suivie par les événements, si n est grand, cette loi peut être approchée par la loi normale (ce qui simplifie grandement les choses !).
On montre que cela est possible si n est égal ou plus grand que 30. Donc : Si n >= 30, étant donné une suite de variables aléatoires Xi suivant la même loi de moyenne m et d'écart-type s, la variable An = (X1+X2+...+Xn) / n suit la loi normale de moyenne m et d'écart type (s/√n) ."

Extraits

[...] En vertu du théorème central limite, F peut donc être approché par une loi normale de moyenne 1/6 et d'écart-type (5/36n) ^1/2. Solution de l'exercice 2 La loi de probabilité est assez simple puisque la variable Xi ne prend que 2 valeurs : 1 avec la probabilité p = 0,15 et 0 avec la probabilité q = 0,85. La moyenne est E(Xi) = 0,15 x1 + 0,85 x0 = 0,15 ; La variance est v(Xi) = 0,15 - 0,15) 2 + 0,85 - 0,15) 2 = 0,1275 ; L'écart-type est s = 0,357 ; La variable X qui représente la somme des valeurs de n = 1000 variables Xi suit une loi binomiale p(X = = Cn^kp^kq^(n-k). [...]

[...] D'après le théorème central limite, quelle que soit la loi de probabilité suivie par les événements, si n est grand, cette loi peut être approchée par la loi normale (ce qui simplifie grandement les choses On montre que cela est possible si n est égal ou plus grand que 30. Donc : Si n 30, étant donné une suite de variables aléatoires Xi suivant la même loi de moyenne m et d'écart-type la variable suit la loi normale de moyenne m et d'écart type . Exercices Exercice 1 On jette n fois un dé. [...]

[...] Il exprime un résultat mathématique justifiant les pratiques de la statistique. Nous l'énoncerons sans démonstration. Soit une suite X1, X Xn de variables aléatoires indépendantes et de même loi de probabilité et on pose qui représente la moyenne arithmétique des variables. Quand n An suit une loi normale de moyenne m et d'écart-type Soit : Il faut insister sur le fait que l'énoncé du théorème central limite ne fait aucune hypothèse sur la loi de probabilité suivie par les variables Xi - Conséquences immédiates Petites variables Supposons que les variables aléatoires Xi sont centrées ; Alors : Posons Yi= ; Y1 + Y2 + . [...]

[...] On s'intéresse à la sortie du (as). Comparer le résultat probabiliste et la statistique en terme de moyenne et d'écart type Approcher la loi de F par une loi normale Exercice 2 Le virus du sida atteint en Afrique de la population. Si on prend un individu au hasard, on appelle Xi la variable aléatoire représentant 1 si l'individu est porteur du virus et 0 sinon. Quelle est la loi de probabilité de Xi ? On désigne par X la somme des 1000 individus, pris au hasard parmi 1000 personnes, porteurs du virus du sida. [...]

[...] En statistique, la fréquence est F = X/n et la moyenne est donc 1/6 et la variance est soit 5/36n ce qui conduit à un écart-type de 0,373/n^1/2. On applique le théorème central limite : on peut considérer que l'on a n variables Xi dont la moyenne est : An=(X1 + X2 + . + Xn/n). D'après la loi des grands nombres, An tend vers la fréquence statistique F : la loi de An est donc celle de F. La moyenne commune des Xi est 1/6 et leur écart-type est = (5/36)^1/2. [...]