Test de signe et de Wilcoxon pour un échantillon

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Test de signe et de Wilcoxon pour un échantillon

Extraits

[...] Si ϕ tombe dans une région de faible probabilité de Q soit on a observé un événement rare soit H0 n'est pas vraie Comment mettre en musique ce programme . Gilles DUCHARME (2005) Test du signe Cas H0 : θ = 0 contre H1 : θ > 0 Cadre de travail : X Xn iid de densité continue et symétrique Hypothèse testée H0 : θ = 0 : point de symétrie de est 0 On transforme les xi en zi = I { xi > si xi > 0 = sinon Version aléatoire : Zi = I { Xi > iid ~ Ber(π) où π = P [ Xi > 0 ] Statistique de test : = zi = val. [...]

[...] X Xn iid ~ de densité Cadre de travail : X Xn iid de densité continue et symétrique autour de θ On veut tester H0 : θ = θ0 contre ou ou H 1 : θ > θ0 (unilatéral à droite) H 1 : θ [...]

[...] ) On veut déterminer si H0 : θ = θ0 (fixée et souvent = est vraie ou si (un de) H1 : θ > θ0 (unilatéral à droite) H1 : θ [...]

[...] continues, P[Xi = Xj ] = 0 xi xj i j ri rj i j (pas d'ex-aequo) Exemple : Hypertension Modifié: n = 8 xi xi ri + n > Etape On calcule w = r I{x i i=1 i ri I { xi > : rang signé de xi + w = val. obs. de = statistique du test de Wilcoxon ou statistique de Wilcoxon (pour 1 échantillon) Exemple : Hypertension Modifié w + = 0 + 5 + 6 + 3 + 0 + 2 + 7 + 4 = 27 Gilles DUCHARME (2005) Justification Heuristique : w = + r I{x i i=1 n i > Note : Comme ri { avec ri rj alors val. min. [...]

[...] de w + = 0 val. max. de w + = w + { (quand tous les xi n 2 = 2 } (quand tous les xi > 4 de centre = Si H1 : θ > 0 est vraie les xi ont tendance à être > 0 les ri I { xi > ont tendance à être > 0 + w a tendance à être proche de 2 Si H0 : θ = 0 est vraie les xi ont tendance à être 0 avec P = 1/2 les ri I { xi > : 0 ou > 0 avec P = 1/2 + w a tendance à être proche» du centre 4 2 + Données ne supportent pas H0 si w proche» de Gilles DUCHARME (2005) A déterminer : une zone de faible probabilité autour de 2 + (aile de droite de la loi de W ) indiquant que l'on doit rejeter H0 quand est dans cette zone où, alternativement, calcul de la p-value = P[W w ] où W = + + + R I{X i i=1 n i > et rejet de H0 si cette p-value avec P = 1 / 2 Si H0 : θ = 0 vraie I { Xi > iid ~ 0 avec P = 1 / 2 Ri = rang de Xi parmi X X n Rn) est une permutation aléatoire de { = + iI { X n i=1 ji > 0 où ji = indice du X de rang i } Loi de W sous H0 = Loi de + iZi où Zi iid ~ i=1 n On peut énumérer les configurations possibles de (iZi, i = (elles sont équiprobables) pour construire la loi de Gilles DUCHARME (2005) Exemple n = 4 (en orange, les termes dont les Zi = Configuration Configuration P 1/16 1/16 1/16 2/16 2/16 2/16 2/16 2/16 1/16 1/16 1/16 avec = 5 = n(n 4 V = 7.5 = n(n 24 Gilles DUCHARME (2005) Exemple n = 5 (en orange, les termes dont les Zi = Configuration Configuration = 7.5 = n(n 4 = 13.75 = 10 n(n 24 Gilles DUCHARME (2005) n=8 n = 10 Approximation de la loi de W = + R I{X i i=1 n i > sous H0 On montre (analyse combinatoire) que = n(n 4 = n(n 24 La loi de sous H0 est symétrique autour de et de support { 2 } et que (calcul probabiliste) W + E(W + ) V(W ) 11 + Gilles DUCHARME (2005) L Calcul approximatif de probabilités : W + E(W + ) V(W + ) c n(n + / 4 n(n + 1)(2n + / 24 L W + E(W + ) > + > c = P V(W + ) > P N c n(n + / 4 n(n + 1)(2n + / 24 Idem: [...]