Test de Kolmogorov

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Test de Kolmogorov

Extraits

[...] de X Xn n ˆn,obs = 1 I { xi x } F n i=1 ˆ ˆ Propriétés de Fn (et de Fn,obs ) ˆ ˆ Monotone croissante (en cadlag, Fn = Fn = 1 Discontinue (avec points de saut aux xi avec des sauts de hauteur k/n où k = nombre xi qui coïncident à ce point ) ˆ Exemple : Fn,obs pour l'échantillon { } Gilles DUCHARME (2005) ˆ Comportement de Fn n 1 n ˆ Fn = I { Xi = n Yi où n i=1 i=1 n si Xi x Yi = sinon et Yi iid ~ Ber(F(x)) Yi ~ n 1 ˆ Fn ) = E[Yi] = nF(x) = n i=1 n ˆ Fn ) = n p ˆ de Tchebycheff Fn quand n ˆ Exemple : Fn,obs pour 4 éch. [...]

[...] Test de Kolmogorov Motivations : Jusqu'à maintenant, on s'est limité au problème de tester un paramètre réel θ (espérance, point de symétrie) de la loi Parfois, on veut savoir si c'est qui ne prendrait pas une certaine valeur Tester H0 : = contre H1 : Exemple : Supposons que le Médicament B contre l'hypertension ne modifie pas l'espérance θ mais plutôt la dispersion (variance) autour de l'espérance ou, même, la forme de Test du signe , test de Wilcoxon et test de Student ne permette de tester que la valeur de θ Développer des tests mieux adaptés» Cadre de travail : X Xn iid ~ continue. [...]

[...] = 20) iid ~ N(10, 25) En gras : N(10, 25) ˆ Conclusion : Fn,obs devrait être proche de qui, a son tour, devrait être égal à si H 0 : = est vraie Prise sur cette hypothèse Gilles DUCHARME (2005) Statistique du test de Kolmogorov ˆ Distance de Kolmogorov entre Fn et Kn = ˆ n sup Fn F0 (forcément Statistique de Kolmogorov pour H0 : = kn = ˆ n sup Fn,obs F0 Stratégie de test : Rejeter H0 si p-value = P[Kn > kn] 0 P[Kn > kn] j+1 j 2 k 2 n e j=1 Pour n 35, table (p.8) donne cα : K n / n > cα ] = α K n > n cα ] = α Example : Si n = 11 et kn = On cherche la p-value P[K11 > 11 0.326 = 1.081 ] = 0.15 c 0.15 c 0.10 P[K11 > 11 0.352 = 1.167 ] = 0.10 Par interpolation linéaire : p-value = 0.1134 Gilles DUCHARME (2005) Simplification du calcul de kn ˆ et Fn,obs Il suffit de calculer aux points kn = ˆ n sup Fn,obs F0 ) ) i = n max max max n n n n Example : Poids (en gr.) de n = 10 poussins de 21 jours On veut tester H0 : = N(200, 1225) pour k n + pour k n = P[N(100, 1225) 156] 156−200 ] 1225 = 0.104 + + kn = kn = kn = n max{ kn , kn } = 0.541 De la table, on lit : P[K10 > 10 .322 = 1.018 ] = 0.20 c 0.20 p-value = P[K10 > 0.541 ] > 0.20 on accepte H0 Gilles DUCHARME (2005) Généralisation au cas de paramètres inconnus H0 : = θ) où θ inconnu Adaptation générale du test de Kolmogorov difficile Restriction au cas important où θ1, θ2) = N(θ1, θ2) Idée : utiliser ln = (Test de Liliefors) ˆ n sup Fn,obs F0 s 2 ) val. [...]

[...] On suppose d'abord que est entièrement spécifiée Gilles DUCHARME (2005) Un objet fondamental en statistique : La fonction de répartition empirique Soit X Xn iid ~ On définit, x R 1 n ˆ Fn = I { Xi n i=1 Si x xn : val. [...]