Symétries : par rapport à un point et par rapport à une droite

Résumé du document

Sur certaines figures de géométrie, on peut observer qu'il existe au moins une droite qui joue un rôle particulier : si on plie le plan de la figure par rapport à cette droite, les deux parties de la figure situées de chaque côté de la droite se superposent. Dans ce cas, la droite qui a servi à effectuer le pliage s'appelle un axe de symétrie de la figure. Le mathématicien observe alors que l'existence d'un axe de symétrie est la conséquence d'une propriété, non pas de la figure en tant que telle, mais des points de cette figure : ces points peuvent être choisis deux par deux, de manière que les deux points de chaque paire choisie se superposent lors du pliage. On dit alors que les deux points d'une même paire sont symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite qui a servi au pliage.

Extraits

[...] Propriété : les symétriques de points alignés sont des points alignés. Propriété [dite de "conservation du parallélisme : si des droites sont parallèles, alors les symétriques de ces droites sont des droites parallèles. Propriété [dite de "conservation de l'orthogonalité : si deux droites sont perpendiculaires, alors les symétriques de ces droites sont des droites perpendiculaires. Propriété : si deux figures sont symétriques l'une de l'autre, alors ces deux figures ont la même aire. Propriétés de transformation [connaissant la figure de départ, que peut-on dire de son symétrique Prop : Le symétrique d'un segment est un segment. [...]

[...] Prop : Le symétrique d'une droite est une droite. Prop : Le symétrique d'un cercle est un cercle. Prop : Le symétrique d'un cercle a pour centre le symétrique du centre du cercle de départ. Conséquences importantes des propriétés précédentes Prop : Deux segments symétriques l'un de l'autre ont la même longueur. Prop : Deux cercles symétriques l'un de l'autre ont le même rayon. Propriété spécifique des symétries par rapport à un point (à ne pas confondre avec la conservation du parallélisme) Prop : Deux droites symétriques l'une de l'autre par rapport à un point sont parallèles. [...]

[...] Construction du symétrique d'un point donné par rapport à une droite fixée Tracer la droite perpendiculaire à la droite fixée passant par le point donné. Mesurer la distance entre le point donné et le point d'intersection des deux droites. Reporter cette distance sur la perpendiculaire, à partir du point d'intersection des deux droites, de l'autre côté de la droite que celui où se trouve le point donné. Construction du symétrique d'un point donné par rapport à un point fixé Tracer la droite passant par le point fixé et par le point donné. Mesurer la distance entre le point donné et le point fixé. [...]

[...] Point se trouvant sur la droite passant par le point fixé et par le point donné de telle manière que le point fixé soit le milieu du segment qui a ce point et le point donné comme extrémités. Point symétrique d'un autre point donné [ par rapport à un point fixé (adj.). Se dit d'un point qui est le symétrique de l'autre point donné par rapport au point fixé. Points symétriques [ l'un de l'autre ] [ par rapport à un point fixé (adj. pl.). [...]

[...] Symétrique d'une figure donnée [ par rapport à un point fixé (n. m.). Figure constituée de tous les symétriques des points de la figure donnée par rapport au point fixé. Figure symétrique d'une autre figure donnée [ par rapport à un point fixé (adj.). Se dit d'une figure qui est le symétrique de l'autre figure donnée par rapport au point fixé. Figures symétriques [ l'une de l'autre ] [ par rapport à un point fixé (adj. pl.). Se dit de deux figures telles que une des deux figures est le symétrique de l'autre par rapport au point fixé. [...]