Suites vérifiant Un+1 = f (Un)

Résumé du document

Cette fiche présente un cours synthétique sur les suites vérifiant Un+1 = f(Un), accompagné d'une représentation graphique, ainsi que d'un exercice type sur le thème.

Extrait :
"Soit f : I → R une fonction
Et l'intervalle I vérifie f(I) ∁ I (I stable par f)
On construit une suite (Un)n telle que :

U0 = a
∀ n ℕ , Un+1 = f (Un)

→ (Un)n est appelée suite récurrente."

Extraits

[...] Rem : on nous donne U0 = a ( on peut avoir U1 = f = U2= f(U1) . ( Dans la suite récurrente, on a besoin du précédent terme. II) Représentation graphique y = x Y = f(U1) = U2 f(U0) = U1 l U0 U1 U2 U3 ( On veut placer les Un sur l'axe des abscisses et voir un début de comportement de la suite (avoir une idée sur la monotonie et la convergence) Rem : - Sur y = ordonnées = abscisses (ex à U0, on a f(U0) = U1 (pour avoir U1 sur l'axe des abscisses, on se repère par rapport à la droite y = x - Définition : Les x vérifiant = x sont appelés les points fixes de f (quand la bissectrice coupe : ici l III) Variations d'une telle suite On va se contenter de prendre les suites Un+1 = f(Un) avec f croissante Proposition : Pour une suite Un+1 = f(Un) avec on a deux possibilités : Si U1 U0, alors Un est Si U1 U0, alors Un est IV) Convergence Rappel : (Un)n converge si ,,lim-→ ∞.-. [...]

[...] (qui correspond à 2 ( Récurrence terminée En déduire la convergence de (Un)n et sa limite ( Avec le théorème des suites monotones, comme (Un)n et est majorée par on a la convergence de (Un)n vers l Comme (Un)n converge vers l et comme f est continue, on a : = l D'où : ,-1+.= ( On le met au carré ( 1+=,-2. ( ²−−1 = 0 Δ = 5 l1 = et l2 = (comme c'est négatif, on l'oublie) nombre d'or Remarque importante ( Si f n'est pas continue, on ne pourra pas conclure sur la monotonie de n Ex : si f est sur ,-+-∗. et sur ,-−-∗. [...]

[...] Variations de f Il faut que 1+x 0 ( Df = f est dérivable sur Df ∀∈ , f'(x) = ,1-2,-1+ . Attention : Df = Variations de (Un)n Rédac : Comme f pour la monotonie de (Un)n , on va comparer U0 et U1 Or U0 = 0 et U1 = 1 ( Donc U1 U0 Donc (Un)n est Montrer que n Єℕ, 2 ( Méthode de la prépa Montrons par récurrence que n Є ℕ, 2 ( Vérifions la propriété pour n = 0 U0 = 0 2 OK ( Supposons que la proposition est vraie à l'ordre n et on va le montrer à l'ordre n+1 Un+1 = ,-1+. [...]