Les Suites - méthode d'analyse

Résumé du document

Méthode d'analyse des suites de type u n+1 = f(un).

- intervalles de stabilité

- limites

- monotonie

- convergence

- nature (croissance)

- ...

Extraits

[...] u1 1 : u1 1 . (car = 1). u1 1 v´rifi´e. e e Conclusion : D'o`, par r´currence, pour tout n , un 1 u e Il ne reste plus qu'` conclure . a u1 1 [...]

[...] I Si I alors et I 2]. I Dans toute la suite, le texte en italique indique des parties r´dig´es, tandis que le texte en caract`res e e e normaux est constitu´ de m´thodes non r´dig´es et de commentaires/explications. e e e e Il existe bien sˆr d'autres r´dactions que les r´dactions propos´es ! u e e e On consid`re une suite d´finie par u0 R et, pour tout n un+1 = f (un ) f est une fonction e e u donn´e. [...]

[...] u e Avec les mˆme hypoth`ses (u0 I f I (ce qui sous-entend que f est d´finie sur l'´nonc´ e e e e e demandera parfois de d´montrer que, pour tout n un est bien d´fini et un I. On ´crira : e e e Montrons par r´currence que, pour tout n un est bien d´fini et un I. e e Initialisation : pour n = u0 est bien d´fini (donn´ par l'´nonc´) et u0 I. e e e e : Soit n N et supposons HRn : est bien d´fini et un v´rifi´e. [...]

[...] ıt Etudions les variations de f et l'´quation f = x afin de trouver les intervalles stables par f. e f est d´finie continue + , et f est clairement croissante sur . e et R f = x x + 2 = x x = x 2 x = 2)2 et x 2 = 1 ou x = et x 2 x = 4. On a le tableau de variations suivant pour f : On a donc f = f Rq : on a un autre intervalle stable par f : car f f = 4]. [...]

[...] e Notons sa limite. Comme, pour tout n un on a I. On cherche enfin la limite parmi les limites ´ventuelles de (un e Rq : il faut parfois (dans le cas il reste deux limites ´ventuelles) utiliser l'argument suivant : u e Pour tout n un u0 (car u est croissante), donc u Si I = et si u n'a pas de limite ´ventuelle dans alors on ´crit : e e Si (un ) est convergente, alors elle converge vers un nombre v´rifiant f ( ) = et I. [...]